বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান । এক পোস্টেই সকল অধ্যায় । Class 6 Math Solution

আজ এখানে বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান যা এক পোস্টেই সকল অধ্যায়ের জন্য পাবেন। You are here for class 6 math solution all lesson.

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান । এক পোস্টেই সকল অধ্যায় । Class 6 Math Solution

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

ঐকিক নিয়ম শতকরা এবং অনুপাত এর বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান । এক পোস্টেই সকল অধ্যায় । Class 6 Math Solution পাবেন

ঐকিক নিয়ম Unitary Method: বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

নির্দিষ্ট পরিমাণ কোন বস্তু বা পন্যের মূল্যমানের (দাম, পরিমাণ, ওজন ইত্যাদি) উপর ভিত্তি করে এর একক মূল্যমান নিরধারন করে উক্ত পন্যের যেকোণ পরিমানের মূল্যমান নির্ণয় করার পদ্ধতি হলো ঐকিক নিয়ম Unitary Method.

উদাহরণঃ পৃষ্ঠা ১৮৯

আরো পড়ুনঃ ৭ম শ্রেণীর গণিত সমাধান | ব্যাখ্যাসহ বিস্তারিত | এক পোস্টেই সবকিছু

১. ডিমের হালি ৩২ টাকা হলে ১ ডজন ডিমের দাম কত?

সমাধানঃ

১ হালি = ৪ টি

১ ডজন = ১২ টি

তাহলে,

৪ টি ডিমের দাম ৩২ টাকা

∵ ১ টি ডিমের দাম ৩২/৪ টাকা = ৮ টাকা

∵ ১২ টি ডিমের দাম = ৮*১২ টাকা = ৯৬ টাকা।

২. ডিমের হালি ৩২ টাকা হলে ৯টি ডিমের দাম কত?

সমাধানঃ

৪ টি ডিমের দাম ৩২ টাকা

∵ ১ টি ডিমের দাম ৩২/৪ টাকা = ৮ টাকা

∵ ৯ টি ডিমের দাম = ৮*৯ টাকা = ৭২ টাকা।

কাজঃ (১৯২ পৃষ্ঠা) এবার একটা মজার কাজ আছে তোমার জন্য। নিচের ধাপ অনুসারে কাজগুলো করো এবং সমগ্র কাজের বিস্তারিত বর্ণনা খাতায় লিখে ও ছবি এঁকে পরবর্তী ক্লাসে শিক্ষককে দেখাও।

ক. কোনো এক মাসে তোমার বাড়ির সকলে মিলে মোট কয়টি ডিম খাওয়া হয়েছে তার হিসাব করো। প্রয়োজনে অভিভাবকের সহায্য নাও।

সমাধানঃ

আমার বাড়িতে মোট সদস্য সংখ্যা ৬ জন এবং প্রত্যেকে প্রতিদিন একটি করে ডিম খায়।

তাহলে,

প্রশ্নমতে,

১ দিনে ১ জনে খায় ১টি ডিম

∵ ১ দিনে ৬ জনে খায় = ১*৬ টি ডিম

∵ ৩০ দিনে ৬ জনে খায় = ১*৬*৩০ টি ডিম

= ১৮০ টি ডিম।

অর্থাৎ, এই মাসে আমার বাড়িতে সবাই মিলে ডিম খাওয়া হয়েছে মোট ১৮০টি।

খ. এবার তোমার এলাকার কোনো একটি দোকানে গিয়ে ডিমের ডজন কত দামে বিক্রি হয় তা জিজ্ঞেস করে জেনে নাও। তুমি কি খাতা–কলম ছাড়াই দোকানে দাঁড়িয়েই বের করতে পারবে ঐ মাসে ডিম কেনার জন্য তোমাদের কত খরচ হয়েছে ?

সমাধানঃ

আমার এলাকায় একটি দোকানে এক ডজন ডিমের দাম ১২০ টাকা।

আমরা জানি,

এক ডজন = ১২ টি।

তাহলে, ১২টি ডিমের দাম ১২ টাকা

∵ ১টি ডিমের দাম ^১২০/_১২ টাকা = ১০ টাকা।

∵ ১৮০ টি ডিমের দাম = ১০*১৮০ টাকা = ১৮০০ টাকা।

উল্লেখ্য, খাতা কলম ছাড়াই দোকানে দাঁড়িয়েই আমি এই সহজ হিসাবটি করে এই মাসে আমাদের পরিবারের ডিমের জন্য খরচের হসাব বের করেছি বা বের করতে পারব।

গ. বাড়িতে ফিরে খাতা–কলম নিয়ে ছবির মাধ্যমে খরচের হিসাব করে দোকানে থাকা অবস্থায় তোমার হিসাব সঠিক ছিল কিনা নিশ্চিত করো।

সমাধানঃ

আগে আমরা এক ডজন ডিমের হিসাব ছবির মাধ্যমে দেখিঃ

এখানে, প্রতি ঘর = ১ টি ডিম।

অর্থাৎ,

১২টি ডিমের মূল্য ১২০ টাকা

∵ ১টি ডিমের মূল্য ^১২০/_১২ টাকা = ১০ টাকা।

তাহলে, ১৮০টি ডিমের মূল্য = ১৮০*১০ টাকা = ১৮০০ টাকা।

আবার অন্যভাবে চিন্তা করি,

১২ টি ডিম = ১ ডজন

∵ ১৮০টি ডিম = ^১৮০/_১২ ডজন = ১৫ ডজন।

তাহলে,

১ ডজন ডিমের মূল্য = ১২০ টাকা

∵ ১৫ ডজন ডিমের ময়্যল্য = ১২০*১৫ টাকা = ১৮০০ টাকা।

যার চিত্র নিন্মরুপঃ

প্রতি ঘর = ১ ডজন ডিমের মূল্য = ১২০ টাকা।

অর্থাৎ, দোকানে থাকা অবস্থায় আমার হিসাবটি সঠিক ছিল।

ঘ. ঐ একটি মাসের হিসাব থেকেই তোমার পরিবারে সারা–বছরের ডিম কেনার জন্য কত টাকা খরচ হয় তা বের করো ?

সমাধানঃ

আমরা জানি,

১ বছর = ১২ মাস

তাহলে,

১ মাসে আমার পরিবারের ডিম কেনার জন্য খরচ = ১৮০০ টাকা।

∵ ১২ মাসে আমার পরিবারের ডিম কেনার জন্য খরচ = ১৮০০*১২ টাকা = ২১৬০০ টাকা।

ঙ. ডিমের দাম প্রতিটা মাসে একই না হলে সারা বছরের হিসাব করতে কী ধরনের সমস্যা হতে পারে বলে তুমি মনে করো ?

সমাধানঃ

ডিমের দাম প্রতি মাসে একই না হলে অর্থাৎ ভিন্ন হলে সারা বছরের সঠিক হিসাব কোন এক মাসের হিসাব থেকে পাওয়া যাবে না। সথিক হিসাব পাওয়ার জন্য প্রতি মাসে আলাদা আলাদা ভাবে হিসাব করে বছরর শেষে সবগুলো মাসের হিসাব অর্থাৎ খরচ যোগ করতে হবে।

# একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ৪ দিনের খাদ্য মজুদ আছে । ঐ পরিরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?

সমাধানঃ

ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ৪ দিন

∵ ছাত্রাবাসে ১ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ৪×৫০ দিন

∵ ছাত্রাবাসে ২০ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ^৪×৫০/_২০ দিন

= ১০ দিন।

এখন নিচে প্রদত্ত বাস্তব সমস্যাগুলি ছবির মাধ্যমে (ছবি অঙ্কন করে) সমাধান করো।

১) ৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা হলে, ১৫ কেজি চালের দাম কত?

সমাধানঃ

৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা

∵ ১ কেজি চালের দাম ^২৮০/_৭ টাকা

= ৪০ টাকা

এখন,

১৫ কেজি চালের দাম

= (৭ কেজি + ৭ কেজি + ১ কেজি) চালের দাম

= ২৮০ টাকা + ২৮০ টাকা + ৪০ টাকা

= ৬০০ টাকা

ছবি ছাড়া সমাধানঃ

৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা

∵ ১ কেজি চালের দাম ^২৮০/_৭ টাকা

∵ ১৫ কেজি চালের দাম ^২৮০/_৭×১৫ টাকা

= ৬০০ টাকা।

২) একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ১৫ দিনের খাদ্য মজুদ আছে । ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২৫ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?

সমাধানঃ

মজুদকৃত খাদ্যে ৫০ জন ছাত্রের চলে ১৫ দিন

∵ মজুদকৃত খাদ্যে ১ জন ছাত্রের চলে ১৫×৫০ দিন

∵ মজুদকৃত খাদ্যে ২৫ জন ছাত্রের চলে ^{১৫×৫০}/_২৫ দিন

= ৩০ দিন।

৩) শফিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে ১২ দিনে ৪৮০ কিমি অতিক্রম করে। দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে সে কত দিনে ৩৬০ কিমি অতিক্রম করবে?

সমাধানঃ

শফিক (প্রতিদিন ১০ ঘন্টা করে হেঁটে) ১২ দিনে অতিক্রম করে ৪৮০ কিমি

∵ শফিক (প্রতিদিন ১০ ঘন্টা করে হেঁটে) ১ দিনে অতিক্রম করে ^৪৮০/_১২ কিমি = ৪০ কিমি

অর্থাৎ,

৪০ কিমি হাঁটে ১ দিনে

∵ ৩৬০ কিমি হাঁটে ^৩৬০/_৪০ দিনে = ৯ দিনে।

অতএব,

৯ দিনে ৩৬০ কিমি অতিক্রম করবে।

৪) ৬ জন লোক ২৮ দিনে কোনো জমির ফসল কাটতে পারে। ২৪ জন লোক কত দিনে ঐ জমির ফসল কাটতে পারে?

সমাধানঃ

(৬ জন)×৪ = ২৪ জন

৬ জন লোক প্রদত্ত জমির ফসল কাটতে পারে ২৮ দিনে

∵ ৬×৪ বা ২৪ জন লোক ঐ জমির ফসল কাটতে পারে ^২৮/_৪ দিনে

= ৭ দিনে।

শতকরাঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান শতকরার উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় পাবেন এবং Class 6 Math Solution পাবেন

শতকরা হলো এমন একটি ভগ্নাংশ যার হর ১০০ যেখানে ভগ্নাংশটি ১০০ এর সাথে সম্পর্কিত এবং হরটি হলো সেই সংখ্যা যা ১০০ ভাগের নির্দিষ্ট অংশ বোঝায়। যেমন ৭% = ^৭/_১০০ অর্থাৎ ১০০ ভাগের ৭ ভাগ।

একক কাজঃ এবার নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো।

১) (ক) এখানে শতকরা (%) কত–অংশ সবুজ রং–করা হয়েছে?

সমাধানঃ

এখানে, মোট ঘর সংখ্যা ১০০টি। ১০০টি ঘরের মধ্যে ৪৯টি ঘর সবুজ রং করা হয়েছে। অর্থাৎ শতকরা ৪৯ অংশ বা ৭৯% সবুজ রং করা হয়েছে।

(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?

সমাধানঃ

সবুজ রং করা অংশটি বাংলাদেশের মানচিত্রের ন্যায়। হ্যাঁ আমি আগে এমন আকৃতি অর্থাৎ বাংলাদেশের মানচিত্র দেখেছি।

২) নিচের ছবি গুলোতে সম্পূর্ণ অংশের শ ত ক রা (%) কত অংশ সবুজ–রং এবং কত অংশ–লাল রং–করা হ য়ে ছে?

(ক) তোমার উত্তর, সবুজ রং করা অংশ = ……….%

            লাল রং করা অংশ = ………%

সমাধানঃ

সবুজ রং করা অংশ = ৫০%

লাল রং করা অংশ = ৫০%

(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?

সমাধানঃ

সবুজ রং করা আকৃতি একটি আইসক্রিমের ন্যায়। হ্যাঁ, আগে এমন আকৃতি আমি দেখেছি যা একটি কাঠিসহ আইসক্রিম এর।

(গ)

সবুজ রং করা অংশ = ……%

লাল রং করা অংশ = …….%

সমাধানঃ

সবুজ রং করা অংশ = ৫০%

লাল রং করা অংশ = ৫০%

[এখানে মোট ১০০টি ঘর আছে যার সবুজ ঘরের সংখ্যা ৫০টি ও লাল ঘরের সংখ্যা ৫০টি]

(ঘ) 

সবুজ রং করা অংশ = ……..%

লাল রং করা অংশ = …….%

সমাধানঃ

সবুজ রং করা অংশ = ৪৬%

লাল রং করা অংশ = ৫০%

[এখানে মোট ১০০টি ঘর আছে যার সবুজ ঘরের সংখ্যা ৪৬টি ও লাল ঘরের সংখ্যা ৫০টি]

৩) নিচের ছ.বি.তে দর্শকসারি বা গ্যা.লা.রি.র শতকরা (%) কত–অংশ দ.র্শ.ক.পূ.র্ণ–আছে এবং শ ত ক রা কত–অংশ খালি–আছে?

দর্শকপূর্ণ অংশ = …….%

খালি অংশ = ……….%

সমাধানঃ

দর্শকপূর্ণ অংশ = ২২%

খালি অংশ = ৭৮%

[এখানে গ্যালারিরতে মোট ১০০টি চেয়ার আছে যার ২২টি চেয়ারে দর্শক আছে অর্থাৎ ৭৮টি চেয়ার খালি আছে।]

ভগ্নাংশ ও শতকরার সম্পর্কঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান ভগ্নাংশ ও শতকরার উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় পাবেন

ভগ্নাংশকে আমরা শতকরায় পরিনত করতে পারি, এর জন্য আমরা আগে বুজবো যে শতকরা বলতে ১০০ এর ভিত্তিতে কোন কিছুর পরিমাণ নির্ণয় করার পদ্ধতি। যেমনঃ ১০০ টি ফলের মধ্যে ৬০টি ফল আম হলে, আমের পরিমাণ ৬০% এবং এর ভগ্নাংশের আকার = ^৬০/_১০০। অর্থাৎ কোন ভগ্নাংশের হর যদি ১০০ হয় তাহলে ভাগ্নাংশটির লবই হবে ঐ ভগ্নাংশের শতকরার পরিমাণ। কিন্তু যদি ভগ্নাংশটির হর ১০০ না হয়, তাহলে উক্ত ভগ্নাংশকে যদি আমরা এমনভাবে পরিবর্তন করি যেন তার হর ১০০ হয়, সেক্ষেত্রে নতুন ভগ্নাংশের লব হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশের শতকরার রুপ।

যেমনঃ ধরি, একটি ভগ্নাংশ ^৬/_১০

এখন, এই ভগ্নাংশকে এমনভাবে পরিবর্তন করি যেন এর হর ১০০ হয় এবং লবও হরের পরিবর্তনের সাথে সঠিক মান বজায় রেখে পরিবর্তন হয় যা নিচে দেখানো হলোঃ

৬/_১০ এর হর ও লবকে ১০ দ্বারা গুণ করে পাইঃ

৬×১০

= ———

১০×১০

= ^৬০/_১০০

= ৬০%

এখন, এই কাজটি আমরা সহজে করতে পারি, প্রদত্ত ভগ্নাংশকে আমরা ১০০ দ্বারা গুণ করতে প্রদত্ত ভগ্নাংশের শতকরা রুপ পেয়ে যাব।

৬/_১০

= ^৬/_১০×১০০

= ৬০ অর্থাৎ ^৬/_১০ এর শতকরা রুপ ৬০%।

নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো (২০৬ পৃষ্ঠা)

১) নিচের ভগ্নাংশ*গুলো ছ*ক কাগজে সবুজ রং ক*রে শতকরায় প্রকাশ করো:

ক) সমাধানঃ

খ) সমাধানঃ

গ) সমাধানঃ

ঘ) সমাধানঃ

২) কোনো পরীক্ষায় মোট ৩০০ নম্বরের মধ্যে তুমি ২৪০ নম্বর পেয়েছ। তাহলে মোট নম্বরের শতকরা কত নম্বর পেলে?

সমাধানঃ

আমি পরীক্ষায় ৩০০ নম্বরের মধ্যে ২৪০ নম্বর পেয়েছি অর্থাৎ একে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে পাই

= ^২৪০/_৩০০

এখন, হর ৩০০ কে ১০০ তে রুপান্তরের জন্য ভগ্নাংশটির লব ও হরকে ৩ দ্বারা ভাগ করে পাই,

= ^৮০/_১০০

= ৮০%

অর্থাৎ, আমি শতকরা ৮০ নম্বর পেয়েছি।

অথবা,

২৪০/_৩০০

= ^২৪০/_৩০০×১০০%

= ৮০%

অর্থাৎ, আমি শতকরা ৮০ নম্বর পেয়েছি।

৩) ছবিতে একটি দেয়ালের অংশ রং করা হলো। তাহলে, দেয়ালের শতকরা কত অংশ রং করা হয়েছে?

সমাধানঃ

ছবিতে দেয়ালের ৪ অংশের মধ্যে ৩ অংশে রং করা হয়েছে অর্থাৎ ^৩/_৪ অংশ রং করা হয়েছে।

এখন,

৩/_৪

৩×২৫

= ———–

৪×২৫

= ^৭৫/_১০০

= ৭৫%

৪) নিচে*র ছবিটি*তে মেয়ে শিশুর ছ*বি সম্পূর্ণ ছবি*র কত অংশ?

সমাধানঃ

ছবিতে ৫টি অংশ আছে যার ২টি অংশ হলো মেয়ে শিশুর ছবির অংশ।

অর্থাৎ,

সম্পূর্ণ ছবিতে ^২/_৫ অংশ হলো মেয়ে শিশুর ছবি।

এখন,

২/_৫

২×২০

= ———–

৫×২০

= ^৪০/_১০০

= ৪০%

অর্থাৎ, সম্পূর্ণ ছবিতে মেয়ে শিশুর ছবি হলো = ৪০% = ^৪০/_১০০ = ^২/_৫

৫) নিচের ছ*বিতে মো*ট আমে*র শতকরা ক*ত অংশ কাঁচা আম?

সমাধানঃ

ছবিতে ৮টি আমের মধ্যে ৪টি কাঁচা আম।

অতএব, কাঁচা আম মোট আমের ^৪/_৮ অংশ।

এখন,

^৪/_৮

= ^১/_২

১×৫০

= ———–

২×৫০

= ^৫০/_১০০

= ৫০%

অর্থাৎ, মোট আমের ৫০% কাঁচা আম।

বার মডেলে শতকরা

কোন বারের নির্দিষ্ট অংশ পূর্নাঙ্গ বারের কত অংশ তা স্কেল ব্যবহার করে শতকরায় প্রকাশ পদ্ধতি হলো বার মডেলে শতকরা। আমরা পাঠ্যবইয়ের ২১০ পৃষ্ঠাতে প্রতিটি বারের কত অংশ সবুজ বা লাল তা উল্লেখিত স্কেলের মাধ্যমে শতকরায় প্রকাশ করেছি। এর জন্য নিন্মোক্ত চিত্রের স্কেল ও বারগুলো লক্ষ্য করি।

#ছবিতে দেখানো স্কেল ব্যবহার করে বারগুলোর শতকরা কত অংশ সবুজ রং এবং শতকরা কত অংশ লাল রং করা আছে নির্ণয় করোঃ

সমাধানঃ

ক) সবুজ অংশ = ৬০% এবং লাল অংশ = ৪০%

খ) সবুজ অংশ = ৫৫% এবং লাল অংশ = ৪৫%

গ) সবুজ অংশ = ৮২% এবং লাল অংশ = ১৮%

ঘ) সবুজ অংশ = ২০% এবং লাল অংশ = ৮০%

#তিশা ২৫০০ টাকা নিয়ে খুলনা থেকে সিলেটে যাওয়ার বাসে উঠল। বাস ভাড়া দিতে হলো ৮০০ টাকা। যাওয়ার পথে বাস থামলে তিশা কিছু খাবার কিনে খেলো। সিলেট পৌঁছানোর পর সে দেখল তার মোট টাকার শতকরা ৮০ ভাগই খরচ হয়ে গেছে।

এখন তুমি কি বলতে পারবে–

ক) বাস ভাড়া তিশার কাছে থাকা মোট টাকার শতকরা কত অংশ?

খ) তিশা মোট কত টাকা খরচ করেছে?

গ) তিশার কাছে কত টাকা অবশিষ্ট ছিল?

ঘ) তিশা কত টাকার খাবার খেয়েছিল?

ঙ) খাবার খরচ মোট টাকার শতকরা কত অংশ?

চ) খাবার খরচ মোট খরচের শতকরা অংশ?

সমাধানঃ

ক)

তিশার কাছে মোট টাকা ছিল ২৫০০ টাকা

এবং বাস ভাড়া দিতে হলো ৮০০ টাকা

তাহলে,

বাস ভাড়া মোট টাকার

= ^{বাস ভাড়া}/_{মোট টাকা} × ১০০%

= ^৮০০/_২৫০০×১০০%

= ৩২%

খ)

প্রশ্নমতে,

তিশা মোট টাকার শতকরা ৮০ ভাগ টাকা খরচ করেছে।

অর্থাৎ, তিশা মোট খরচ করেছে মোট টাকার ৮০%

= ২৫০০ এর ৮০%

= ২৫০০ × ^৮০/_১০০ টাকা

= ২০০০ টাকা।

গ)

তিশার কাছে মোট ছিল ২৫০০ টাকা

এবং সে মোট খরচ করল ২০০০ টাকা (খ হতে পাই)।

তাহলে, তিশার কাছে অবশিষ্ট ছিল

= মোট টাকা – মোট খরচ

= ২৫০০ টাকা – ২০০০ টাকা

= ৫০০ টাকা।

ঘ)

তিশা মোট খরচ করল ২০০০ টাকা

এবং তিশা মোট বাস ভাড়া চিল ৮০০ টাকা।

অতএব,

তিশার খাবার খরচ

= মোট খরচ – বাস ভাড়া

= ২০০০ টাকা – ৮০০ টাকা

= ১২০০ টাকা।

ঙ)

তিশার কাছে মোট ছিল ২৫০০ টাকা

এবং তিশার খাবার খরচ ১২০০ টাকা।

তাহলে,

খাবার খরচ মোট টাকার

= ^{খাবার খরচ}/_{মোট টাকা}×১০০%

= ^১২০০/_২৫০০×১০০%

= ৪৮%

চ)

তিশা মোট খরচ করল ২০০০ টাকা (খ হতে পাই)

তিশার খাবার খরচ = ১২০০ টাকা (ঘ হতে পাই)

অতএব,

খাবার খরচ মোট খরচের

= ^{খাবার খরচ}/_{মোট খরচ} ×১০০%

= ^১২০০/_২০০০×১০০%

= ৬০%

অনুপাতঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান অনুপাতের উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

সচারাচার আমরা প্রায়ই একই প্রকারের দুটি জিনিসের তুলনা করে থাকি। যেমন ধরা যাক, করিমের উচ্চতা ১৬০ ও তার বোন তুলির উচ্চতা ১৫৩ সে.মি.। এখন কিভাবে তুমি দু’জনের উচ্চতা তুলনা করবে বলে মনে হয়? একটা উপায় হল দুই উচ্চতা বিয়োগ করে পার্থক্য নির্নয় করা। অর্থাৎ, করিমের উচ্চতা তার বোন তুলির চেয়ে (১৬০ – ১৫৩) সে.মি. = ৭ সে.মি. বেশি। এবারে চলো একটা টিকটিকি ও একটা পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের তুলনা করি। মনে করো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি. এবং পিপড়ার দৈর্ঘ্য ১ সে.মি.। তাহলে এখানেও টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য (৭-১) সে.মি. বা ৬ সে.মি.।

এখানে দেখা যাচ্ছে, করিম ও তুলির উচ্চতার পার্থক্য এবং টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য একই। কিন্তু করিম ও তুলির উচ্চতার পার্থক্য ৭ সে.মি. এই কথাটা থেকে তাদের উচ্চতার ব্যাপারে যে ধারণা পাওয়া যায়; টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৬ সে.মি. এই কথাটা থেকে যদি তুমি একই ধরনের ধারণা পেয়ে থাক, তাহলে সেটা কতখানি সঠিক হবে? তুমিই নিজেই চিন্তা করে দেখো তো।

এর চেয়ে বরং কয়টি পিঁপড়া পরপর বসিয়ে একটা টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয় সেটা জানলে এক্ষেত্রে আরও ভালো ধারণা পাওয়া যাবে। যা তুমি টিকটিকির দৈর্ঘ্যকে পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে অর্থাৎ, ৮টি পিঁপড়া পরপর বসিয়ে একটা টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয়। আবার এভাবেও বলতে পারো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের ৭ গুণ বা, টিকটিকি দৈর্ঘ্যে পিঁপড়ার তুলনায় ৭ গুণ বড়।

অর্থাৎ,

ভাগের মাধ্যমে কতগুণ বড় বা ছোট তা আমরা তুলনা করতে পারি। আর ভাগের মাধ্যমে কতগুণ ছোট কিংবা বড় সেই বিষয়ক তুলনাকেই অনুপাত বলে। অনুপাতের গাণিতিক চিহ্ন হলোঃ :।

গাণিতিকিভাবে লেখা হয়,

টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ৭ : ১

আবার, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যকে টিকটিকির দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে: ^১/_৭

অর্থাৎ, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য টিকটিকির দৈর্ঘ্যের ৮ ভাগের ১ ভাগের সমান। আবার এভাবেও বলতে পারো, পিঁপড়া দৈর্ঘ্যে টিকটিকির তুলনায় ৭ গুণ ছোট।

গাণিতিকিভাবে লেখা হয়,

পিঁপড়া ও টিকটিকির দৈর্ঘ্যে র অনুপাত = ১ : ৭

কাজেই, অনুপাত মূলত একটা ভগ্নাংশ।

অনুপাতের সাহায্যে বাস্তব সমস্যার সমাধানঃ (২১৪ পৃষ্ঠা)

#শওকতের ভর ৩০ কেজি এবং তার পিতার ভর ৬০ কেজি । শওকতের ভর তার পিতার ভরের কতগুণ?

সমাধানঃ

শওকত ও পিতার ভরের অনুপাত

= ৩০ : ৬০

= ^৩০/_৬০

= ^১/_২

= ২ : ১

অতএব, শওকতের ভর পিতার ভরের ^১/_২ গুণ।

#তোমার শ্রেণির জন্য তথ্য সংগ্রহ করে নিচের খালিঘর পূরণ করো। (২১৫ পৃষ্ঠা)

ছাত্র সংখ্যা = □

ছাত্রী সংখ্যা = □

মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = □

* ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□ = ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □

* ছাত্র সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□ = ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □

* ছাত্রী সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□ = ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □

* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্র সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□ = ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □

* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□ = ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □

সমাধানঃ

ছাত্র সংখ্যা = ২০

ছাত্রী সংখ্যা = ১৮

মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩৮

* ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত

= ^২০/_১৮ = ^১০/_৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১০ : ৯

* ছাত্র সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত

= ^২০/_৩৮ = ^১০/_১৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১০ : ১৯

* ছাত্রী সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত

= ^১৮/_৩৮ = ^৯/_১৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ৯ : ১৯

* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্র সংখ্যার অনুপাত

= ^৩৮/_২০ = ^১৯/_১০ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১৯ : ১০

* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত

= ^৩৮/_১৮ = ^১৯/_৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১৯ : ৯

#নিচের আয়তাকার ক্ষেত্রের সবগুলো অংশ সমান দৈর্ঘ্যের।

সবুজ রং করা অংশ এবং হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^□/_□ = □ : □

হলুদ রং করা অংশ এবং সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^□/_□ = □ : □

সবুজ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^□/_□ = □ : □

হলুদ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^□/_□ = □ : □

সমাধানঃ

আয়তার ক্ষেত্রটিতে সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে ২ একক ও হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে ৫ একক, অর্থাৎ সম্পূর্ণ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে (২+৫) একক = ৭ একক।

তাহলে,

সবুজ রং করা অংশ এবং হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^২/_৫ = ২ : ৫

হলুদ রং করা অংশ এবং সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^৫/_২ = ৫ : ২

সবুজ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^২/_৭ = ২ : ৭

হলুদ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ^৫/_৭ = ৫ : ৭

#রফিক দোকান থেকে ৬ প্যাকেট লাল কলম এবং ২ প্যাকেট নীল কলম কিনল। (২১৬ পৃষ্ঠা)

লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□

= ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)

= □ : □

লাল এবং নীল কলমের প্রতিটি প্যাকেটে ১০ টি করে কলম থাকে।

তাহলে, রফিক লাল কলম কিনেছে = ৬ × □ = □ টি

এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × □ = □ টি

লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□

= ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)

= □ : □

লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?

□ হ্যাঁ       □না

সমাধানঃ

লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত

= ^৬/_২

= ^৩/_১ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে)

= ৩ : ১

লাল এবং নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে।

তাহলে, রফিক লাল কলম কিনেছে = ৬ × ১০ = ৬০ টি

এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × ১০ = ২০ টি

লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত

= ^৬০/_২০

= ^৩/_১ (লব ও হরকে ২০ দ্বারা ভাগ করে)

= ৩ : ১

লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?

উত্তরঃ হ্যাঁ

#মনিকা দোকান থেকে ৬ প্যাকেট লাল কলম এবং ২ প্যাকেট নীল কলম কিনল।

লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□

= ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)

= □ : □

লাল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে। নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১২টি করে কলম থাকে।

তাহলে, মনিকা লাল কলম কিনেছে = ৬ × □ = □ টি

এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × □ = □ টি

লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত

= ^□/_□

= ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)

= □ : □

লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?

□ হ্যাঁ       □না

সমাধানঃ

লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত

= ^৬/_২

= ^৩/_১ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে)

= ৩ : ১

লাল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে। নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১২টি করে কলম থাকে।

তাহলে, মনিকা লাল কলম কিনেছে = ৬ × ১০ = ৬০ টি

এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × ১২ = ২৪ টি

লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত

= ^৬০/_২৪

= ^৫/_২ (লব ও হরকে ১২ দ্বারা ভাগ করে)

= ৫ : ২

লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?

উত্তরঃ  না

#ছবিতে দেখানো শিশুটির ভর ও মাছগুলোর ভরের অনুপাত (২১৭ পৃষ্ঠা)

= ^□/_□

= ^□/_□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)

= □ : □

সমাধানঃ

ছবিতে, শিশুটির ভর = ৪.২ কেজি

এবং মাছগুলোর ভর = ১.৪ কেজি।

তাহলে,

শিশুটির ভর ও মাছগুলোর ভরের অনুপাত

= ^৪.২/_১.৪

= ^৩/_১ (লব ও হরকে ১.৪ দ্বারা ভাগ করে)

= ৩ : ১

#আবার মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের কত? (২১৮ পৃষ্ঠা)

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

ভাইয়ের বয়স = ৩  বছর = ৩×১২ মাস = ৩৬ মাস [১ বছর = ১২ মাস বলে]

এবং বোনের বয়স = ৬ মাস।

তাহলে,

তাদের বয়সের অনুপাত

= ^৩৬/_৬

= ^৬/_১

= ৬ : ১

#একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস। তাহলে শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত নির্ণয় কর। (২১৮ পৃষ্ঠা)

সমাধানঃ

১ম শিশুটির বয়স

= ৬ বছর

= ৬×১২ মাস

= ৭২ মাস

২য় শিশুটির বয়স

= ৯ বছর ৬ মাস

= ৯×১২ মাস + ৬ মাস

= ১০৮ মাস + ৬ মাস

= ১১৪ মাস

অতএব,

শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত

= ^৭২/_১১৪

= ১২/১৯

=১২ : ১৯

এবার অনুপাতের ধা র ণা অনুসারে নি চে র সমস্যাগুলোর স মা ধা ন করো:

১) নিচের সংখ্যাদ্বয়ের প্রথম রাশি ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) ২৫ ও ৩৩৫

সমাধানঃ

১ম রাশি = ২৫, ২য় রাশি = ৩৩৫

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ২৫ : ৩৩৫

= ৫ : ৬৭ [উভয় রাশিকে ৫ দ্বারা ভাগ করে]

(খ) ৭^১/_৩ ও ৯^২/_৫

সমাধানঃ

১ম রাশি = ৭^১/_৩ = ^২২/_৩, ২য় রাশি = ৯^২/_৫ = ^৪৭/_৫

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ^২২/_৩ : ^৪৭/_৫

= ^{২২×১৫}/_৩ : ^{৪৭×১৫}/_৫ [উভয় রাশিকে ১৫ দ্বারা গুণ করে]

= ২২×৫ : ৪৭×৩

= ১১০ : ১৪১

(গ) ১.২৫ ও ৭.৫

সমাধানঃ

১ম রাশি = ১.২৫, ২য় রাশি = ৭.৫

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ১.২৫ : ৭.৫

= ১২৫ : ৭৫০ [উভয় রাশিকে ১০০ দ্বারা গুণ করে]

= ১ : ৬ [উভয় রাশিকে ১২৫ দ্বারা ভাগ করে]

(ঘ) ৮^২/_৩ ও ০.১২৫

সমাধানঃ

১ম রাশি = ৮^২/_৩, ২য় রাশি = ০.১২৫

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ৮^২/_৩ : ০.১২৫

= ^২৬/_৩ : ০.১২৫

= ^২৬/_৩ : ^১২৫/_১০০০

= ^২৬/_৩ : ^১/_৮

= ২৬ : ^৩/_৮ [উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা গুণ করে]

= ২৬×৮ : ৩ [উভয় রাশিকে ৮ দ্বারা গুণ করে]

= ২০৮ : ৩

(ঙ) ১ বছর ২ মা স ও ৭ মা স

সমাধানঃ

১ম রাশি = ১ বছর ২ মাস = ১২ মাস + ২ মাস = ১৪ মাস,

২য় রাশি = ৭ মাস

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ১৪  : ৭

= ২ : ১ [উ ভ য় রা শি কে ৭ দ্বা রা ভাগ করে]

(চ) ৭ কেজি ও ২ কেজি ৩০০ গ্রাম

সমাধানঃ

১ম রাশি = ৭ কেজি = ৭×১০০০ গ্রাম = ৭০০০ গ্রাম,

২য় রাশি = ২ কেজি ৩০০ গ্রাম = ২×১০০০ গ্রাম + ৩০০ গ্রাম = ২৩০০ গ্রাম

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ৭০০০  : ২৩০০

= ৭০ : ২৩ [উভয় রাশিকে ১০০ দ্বারা ভাগ করে]

(ছ) ২ টাকা ও ৪০ পয়সা

সমাধানঃ

১ম রাশি = ২ টাকা = ২×১০০ পয়সা = ২০০ পয়সা,

২য় রাশি = ৪০ পয়সা

তাহলে, নির্নেয় অনুপাত

= ২০০  : ৪০

= ৫ : ১ [উভয় রাশিকে ৪০ দ্বারা ভাগ করে]

২) তুমি ক্লাসে কত*গুলো বই ও কত*গুলো খাতা নিয়ে এসেছ তা গণনা করে নিচের কাজ*গুলো করো:

ক) খাতা ও বই*য়ের সংখ্যার অনুপাত নি*র্ণয় করো।

খ) খাতা*গুলোর মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা এবং বইগুলোর মোট পৃষ্ঠা*সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

ক)

আমি ক্লাসে ৭টি বই ও ৫টি খাতা নিয়ে এসেছি।

তাহলে,

খাতা ও বইয়ের সংখ্যার অনুপাত

= ৫ : ৭

খ)

প্রতিটি খাতায় ১০০টি পৃষ্ঠা ও প্রতিটি বইয়ে ১৫০টি পৃষ্ঠা আছে।

তাহলে,

৫টি খাতায় মোট পৃষ্ঠা আছে = ৫×১০০ টি = ৫০০ টি।

৭টি বইয়ে মোট পৃষ্ঠা আছে = ৭×১৫০ টি = ১০৫০ টি

অতএব,

খাতাগুলোর মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা এবং বইগুলোর মোট পৃষ্ঠাসংখ্যার অনুপাত

= ৫০০ : ১০৫০

= ১০ : ২১ [উভয়পক্ষকে ৫০ দ্বারা ভাগ করে]

৩) স্কেলের সাহায্যে তোমার গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ মেপে বের করো এবং এদের মধ্যকার অনুপাত নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

স্কেলের সাহায্যে আমি আমার গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পেলাম যথাক্রমে ৮ ইঞ্চি ও ৬ ইঞ্চি।

তাহলে, নির্নেয় অনুপাতঃ

= ৮ : ৬

= ৪ : ৩ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]

৪) তোমার শ্রেণি*কক্ষ, বাড়িতে বা অন্য কোনো স্থা*নে ৩টি ভিন্ন ভিন্ন টেবিল খজেুঁ বের করো।

ক) প্রতিটি টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরি*মাপ করো এবং তাদের মধ্য*কার অনু*পাত নির্ণয় করো।

খ) কোন টেবিলের ক্ষেত্রে দৈ*র্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত সব*চেয়ে বেশি তা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

ক)

১ম টেবিল, ২য় টেবিল ও ৩য় টেবিল যথাক্রমে আমি আমার শ্রেণিকক্ষে, আমার বাড়ির ডাইনিঙয়ে ও আমার পড়ার কক্ষে খুঁজে পেলাম।

১ম টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৪ ফুট ও ৩ ফুট

অতএব, ১ম টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত

= ৪ : ৩

২য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৬ ফুট ও ৩ ফুট

অতএব, ২য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত

= ৬ : ৩

= ২ : ১ [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]

৩য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩ ফুট ও ২ ফুট

অতএব, ৩য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত

= ৩ : ২

(খ)

১ম টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ৪ : ৩ = ^৪/_৩

২য় টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ২ : ১ = ^২/_১

৩য় টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ৩ : ২ = ^৩/_২

অনুপাত ত্রয়ের হরগুলোর লয়াসগু = ৬

৬ ÷৩ = ২, ^৪×২/_৩×২ = ^৮/_৬

৬ ÷১ = ৬, ^২×৬/_১×৬ = ^১২/_৬

৬ ÷২ = ৩, ^৩×৩/_২×৩ = ^৯/_৬

অর্থাৎ, ভগ্নাংশত্রয়কে সমহরে রুপান্তরের পরে আমরা দেখি ভগ্নাংশগুলোর ক্ষেত্রে এদের লবগুলোকে তুলনা করে পাই, ১২>৯>৮

তাহলে, ^১২/_৬ বা ^২/_১ বা ২য় টেবিলের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত সবচেয়ে বেশি।

৫) তুমি কি এমন কোনো গল্প বা ঘটনা জা*নো যেখানে ‘অনুপাত’ শব্দ*টা ব্যব*হার করা হয়েছে? অথবা কোথাও কি ‘অনুপাত’ শব্দ*টি বা অনুপাত চিহ্ন ‘:’ লেখা দেখে*ছ? এরকম কয়েকটি বাস্তব ঘটনা খজেুঁ বের করো এবং কীভাবে খজেুঁ পেলে বা কোথায় পেয়েছ তার ছবি অথবা বর্ণনা লিখে শিক্ষক ও তোমার সহপাঠীদেরকে বলো।

সমাধানঃ

(১) আমাদের জাতীয় পয়াকার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত

= ১০ : ৬

এবং পতাকার দৈর্ঘ্য ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত

= ৫ : ১

(২) বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত

= ২২ : ৭

৬) তোমাদের চারপাশে বাস্তবে দেখেছ বা শুনেছ এমন কিছু উদাহরণ খজেুঁ বের করো যেখানে একই রকম বা সমজাতীয় দুইটি রাশির মধ্যে তুলনা করা হয়েছে কিন্তু একক ভিন্ন ভিন্ন ছিল। তারপর কীভাবে ভিন্ন এককগুলোকে একই এককে রুপান্তর করা হলো তা লেখো।

সমাধানঃ

প্রশ্ন অনুসারে আমি রাসেল ও তার পিতার উচ্চতার ক্ষেত্রে দুইটি ভিন্ন এককে তুলনা করতে দেখেছি।

এখানে,

রাসেলের পিতার উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি

এবং রাসেলের উচ্চতা ৩৬ ইঞ্চি

এখন, ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি কে একই একক ইঞ্চিতে রূপান্তরঃ

৫ ফুট ৬ ইঞ্চি

= ৫×১২ ইঞ্চি + ৬ ইঞ্চি

= ৬০ + ৬ ইঞ্চি

= ৬৬ ইঞ্চি

অর্থাৎ, রাসেল ও তার পিতার উচ্চতার অনুপাত

= ৩৬ : ৬৬

= ৬ : ১১

আবার,

করিম সাহেবের বয়স ৩০ বছর এবং তার বাচ্চার বয়স ৬ মাস।

৩০ বছরকে একই একক মাসে রুপান্তরঃ

৩০ বছর

= ৩০×১২ মাস

= ৩৬০ মাস

তাহলে,

করিম সাহেব ও তার বাচ্চার বয়সের অনুপাত

= ৩৬০ : ৬

= ৬০ : ১

সমতুল অনুপাতঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান সমতুল অনুপাতের উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে শুন্য (০) ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মানের পরিবর্তন হয় না এবং সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। কোন ভগ্নাংশকে লব ও হরের গসাগু দিয়ে ভাগ করে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা যায়। আমরা জানি, অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। অনুপাতকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হলে- অনুপাতের প্রথম পদটি ভগ্নাংশের লব হিসাবে লেখা হয় এবং একে বলা হয় অনুপাতের পূর্ব রাশি। অনুপাতের দ্বিতীয় পদটি ভগ্নাংশের হর হিসাবে লেখা হয় এবং একে বলা হয় অনুপাতের উত্তর রাশি। তাহলে দেখা যাচ্ছে, সমতুল ভগ্নাংশ ও সমতুল অনুপাত মূলত সমার্থক। অর্থাৎ, অনুপাতের ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি- অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না এবং প্রাপ্ত অনুপাতগুলোকে সমতুল অনুপাত বলা হয়। সমতুল ভগ্নাংশ গঠন করার উপায়েই সমতুল অনুপাত গঠন সম্ভব। একটি অনুপাতের রাশি দুইটিকে তাদের গসাগু দ্বারা ভাগ করে অনুপাতটিকে সরলীকরণ করা যায়।

উদাহরণঃ

২ : ৩= ^২/_৩ = ^২×২/_৩×২ = ^৪/_৬ =৪ : ৬

এবং,

৬ : ১২= ^৬/_১২ = ^৬÷২/_১২÷২ = ^৩/_৬ =৩ : ৬

নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো:

১) নিচের অনুপাতগুলোকে সরলীকরণ করো

(ক) ৯ : ১২

সমাধানঃ

৯ : ১২

= ^৯/_১২

৩×৩

= ——

৩×৪

= ^৩/_৪

= ৩ : ৪

(খ) ১৫ : ২১

সমাধানঃ

১৫ : ২১

= ^১৫/_২১

৩×৫

= ——

৩×৭

= ^৫/_৭

= ৫ : ৭

(গ) ৪৫ : ৩৬

সমাধানঃ

৪৫ : ৩৬

= ^৪৫/_৩৬

৩×৩×৫

= ———-

৩×৩×৪

= ^৫/_৪

= ৫ : ৪

(ঘ) ৬৫ : ২৬

সমাধানঃ

৬৫ : ২৬

= ^৬৫/_২৬

১৩×৫

= ——-

১৩×২

= ^৫/_২

= ৫ : ২

২) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোকে চিহ্নিত করো

(১) ১২ : ১৮;  (২) ৬ : ১৮;  (৩) ১৫ : ১০;  (৪) ৩ : ২;  (৫) ৬ : ৯; (৬) ২ : ৩; (৭) ১ : ৩;  (৮) ২ : ৬; (৯) ১২ : ৮

সমাধানঃ

এখানে,

১ম অনুপাত

= ১২ : ১৮

= ^১২/_১৮

৬×২

= ——-

৬×৩

= ^২/_৩

২য় অনুপাত

= ৬ : ১৮

= ^৬/_১৮

৬×১

= ——-

৬×৩

= ^১/_৩

৩য় অনুপাত

= ১৫ : ১০

= ^১৫/_১০

৫×৩

= ——-

৫×২

= ^৩/_২

৪র্থ অনুপাত

= ৩ : ২

= ^৩/_২

৫ম অনুপাত

= ৬ : ৯

= ^৬/_৯

৩×২

= ——-

৩×৩

= ^২/_৩

৬ষ্ট অনুপাত

= ২ : ৩

= ^২/_৩

৭ম অনুপাত

= ১ : ৩

= ^১/_৩

৮ম অনুপাত

= ২ : ৬

= ^২/_৬

২×১

= ——-

২×৩

= ^১/_৩

৯ম অনুপাত

= ১২ : ৮

= ^১২/_৮

৪×৩

= ——-

৪×২

= ^৩/_২

অর্থাৎ, অনুপাতগুলোর সরলীকৃত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা করে পাই,

৬ :৯; ১২ : ১৮ ও ২ :৩ সমতুল অনুপাত

৬ : ১৮; ১ : ৩ ও ২ : ৬ সমতুল অনুপাত

১৫ : ১০; ৩ : ২ ও ১২ : ৮ সমতুল অনুপাত।

৩) কোনো একটি স্কুলে ৪৫০ জন ছেলে এবং ৫০০ জন মেয়ে আছে। স্কুলের ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাতকে সরলীকৃত আকারে লেখো।

সমাধানঃ

প্রদত্ত স্কুলে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাত = ৪৫০ : ৫০০

এখন,

৪৫০ : ৫০০

= ^৪৫০/_৫০০

৫×৯×১০

= ————-

৫×১০×১০

= ^৯/_১০

= ৯ : ১০

অতএব, নির্নেয় উত্তরঃ ৯ : ১০

৪) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোর খালিঘর পূরণ করো

(ক) ২ :৩ = ৮ :⬜

সমাধানঃ

২ : ৩ = ৮ : ⬜

বা,  ^২/_৩ = ^৮/⬜

বা, ২×⬜  = ৩×৮

বা,  ২×⬜  = ২৪

বা, ⬜ = ^২৪/_২

বা, ⬜ = ১২

(খ) ৫ : ৬ = ⬜ : ৩৬

সমাধানঃ

৫ : ৬ = ⬜ : ৩৬

বা,  ^৫/_৬ = ⬜/_৩৬

বা, ৬×⬜  = ৫×৩৬

বা,  ⬜  = ^৫×৩৬/_৬

বা, ⬜ = ৫×৬

বা, ⬜ = ৩০

(গ) ৭ :⬜ = ৪২ :৫৪

সমাধানঃ

৭ : ⬜ = ৪২ : ৫৪

বা,  ^৭/⬜ = ^৪২/_৫৪

বা, ৪২×⬜  = ৭×৫৪

বা,  ⬜  = ^৭×৫৪/_৪২

বা, ⬜ = ^{৭×৬×৯}/_৬×৭

বা, ⬜ = ৯

(ঘ)⬜  : ৯ = ৬৩ : ৮১

সমাধানঃ

⬜  : ৯ = ৬৩ : ৮১

বা,  ⬜/_৯ = ^৬৩/_৮১

বা, ৮১×⬜  = ৯×৬৩

বা,  ⬜  = ^৯×৬৩/_৮১

বা, ⬜ = ^{৯×৭×৯}/_৯×৯

বা, ⬜ = ৭

৫) একটি হলঘরের প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২: ৫। প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের সম্ভাব্য মান বসিয়ে সারণিটি পূরণ করো।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

প্রস্থ : দৈর্ঘ্য = ২ : ৫

বা, ^{প্রস্থ}/_{দৈর্ঘ্য} = ^২/_৫

বা, দৈর্ঘ্য×২ = প্রস্থ×৫

বা, দৈর্ঘ্য = ^৫/_২×প্রস্থ

বা, প্রস্থ = ^২/_৫×দৈর্ঘ্য

তাহলে,

দৈর্ঘ্য যখন ৫০ তখন প্রস্থ

= ^২/_৫×৫০

= ২০

প্রস্থ যখন ৪০ তখন দৈর্ঘ্য

= ^৫/_২×৪০

= ১০০

দৈর্ঘ্য যখন ২০০ তখন প্রস্থ

= ^২/_৫×২০০

= ৮০

প্রস্থ যখন ১৬০ তখন দৈর্ঘ্য

= ^৫/_২×১৬০

= ৪০০

দৈর্ঘ্য যখন ^৩/_৪ তখন প্রস্থ

= ^২/_৫×^৩/_৪

= ^৬/_২০

= ^৩/_১০

প্রস্থ যখন ২.২৫ তখন দৈর্ঘ্য

= ^৫/_২×২.২৫

= ৫.৬২৫

প্রস্থ যখন ১৫^৩/_৫ তখন দৈর্ঘ্য

= ^৫/_২×১৫^৩/_৫

= ^৫/_২×^৭৮/_৫

= ৩৯

তাহলে এই মানগুলো বসিয়ে পূরনকৃত সারনীটি নিন্মরুপঃ

# তোমাদে*র শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে*র যেকোনো তিনটি কক্ষে*র দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত তা পরিমাপ করো অথবা শিক্ষকে*র সহায়তায় তথ্য সংগ্রহ করো।

# প্রতিটি কক্ষে*র দৈর্ঘ্য ও প্রস্থে*র অনুপাত বের করো।

সমাধানঃ

আমার বিদ্যালয়ের তিনটি কক্ষের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে

৫ মিটার ও ৩ মিটার;

৯ মিটার ও ৬ মিটার;

৮ মিটার ও ৬ মিটার।

এখন,

দৈর্ঘ্য ৫ মিটার ও প্রস্থ ৩ মিটার এর জন্য অনুপাত = ৫ : ৩;

দৈর্ঘ্য ৯ মিটার ও প্রস্থ ৬ মিটার এর জন্য অনুপাত

= ৯ : ৬

= ৩ : ২ [উত্তর ও পূর্ব রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]

দৈর্ঘ্য ৮ মিটার ও প্রস্থ ৬ মিটার এর জন্য অনুপাত

= ৮ : ৬

= ৪ : ৩ [উত্তর ও পূর্ব রাশিকে ২ দ্বারা ভাগ করে]

তথ্য অনুসন্ধান ও বিশ্লেষণ

তথ্য অনুসন্ধান ও বিশ্লেষণ

দৈনন্দিন জীবনে আমরা বিভিন্ন ধরনের তথ্য ব্যবহার করে থাকি। বর্তমান যুগ কে তথ্য প্রযুক্তির যুগ বলা হয়। তথ্য প্রযুক্তির যুগে বসবাস করে তথ্য জানা, তথ্য অনুসন্ধান ও বিশ্লেষণ এবং এর প্রায়োগিক দক্ষতা অর্জন আমাদের সকলের জন্য অপরিহার্য। তথ্য বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফলের একাধিক ব্যাখ্যা থাকার সম্ভাবনা যাচাই এবং একটি যৌক্তিক সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর দক্ষতা অর্জন করা গুরুত্বপূ। এই অধ্যায় থেকে তোমরা যা শিখবে ও সমাধান পাবে, সেগুলো হলোঃ

1. তথ্য ও উপাত্ত (Information and Data)
2. বিন্যস্ত ও অবিন্যস্ত উপাত্ত
3. ট্যালি
4. স্তম্ভলেখ
5. গড় (Mean)
6. মধ্যক (Median)
7. রেখাচিত্র (Line Graph)

[বিঃদ্রঃ পাঠ্যপুস্তক হতে উপরোক্ত বিষয়ে ভালোভাবে অধ্য্যন করিবে, আমি এখানে অনুশীলনীর সমাধান করে দিলাম।]

অনুশীলনীঃ

১. ষষ্ঠ শ্রেণির ৪০ জন শিক্ষার্থীকে একদিনে দেখা পশুপাখির সংখ্যা জানতে চাওয়ায় তারা নিচের সংখ্যাগুলো জানালোঃ

৮,৭,৯,৪,৬,৮,৯,১০,৫,৪,৯,৮,৭,৬,৮,৭,৯,১০,৬,৪,৫,৮,৯,৭,১০,৬,১০,৮,৯,৮,৬,৫,৮,৯,১০,৭,৪,১০,৮,৬

ক) উপাত্তগুলোকে মানের অধঃক্রম অনুসারে বিন্যস্ত করো।

খ) ট্যালি চিহ্ন ব্যবহার করে সারণি করো।

সমাধানঃ

ক)

উপাত্তগুলোকে মানের অধঃক্রম অনুসারে বিন্যস্ত করে পাইঃ

১০,১০,১০,১০,১০,১০,৯,৯,৯,৯,৯,৯,৯,৮,৮,৮,৮,৮,৮,৮,৮,৮,৭,৭,৭,৭,৭,৬,৬,৬,৬,৬,৫,৫,৫,৪,৪,৪,৪

খ)

ট্যালি চিহ্ন ব্যবহার করে সারণি তৈরি করা হলোঃ

২. অমিয়া ষষ্ঠ শ্রেণির একজন শিক্ষার্থী। তার বিদ্যালয়ে প্রথম শ্রেণি থেকে ষষ্ঠ শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা হলোঃ

উলম্ব রেখা বরাবর শিক্ষার্থীর সংখ্যা ধরে স্তম্ভলেখ অঙ্কন করো। [সংকেতঃ উলম্ব রেখা বরাবর শিক্ষার্থীর সংখ্যা এমনভাবে চিহ্নিত করো যেন সকল সংখ্যা লেখচিত্রে থাকে।

সমাধানঃ

উলম্ব রেখা বরাবর শিক্ষার্থীর সংখ্যা ধরে নিন্মোক্ত স্তম্ভলেখ অঙ্কন করা হলোঃ

৩. বাংলাদেশ ও অস্ট্রেলিয়ার মধ্যকার একটি ওয়ান ডে ক্রিকেট খেলায় বাংলাদেশ টিমের একজন বোলার দশ ওভার বল করলেন। বিভিন্ন ওভারে তাঁর দেওয়া রান সংখ্যা নিচের স্তম্ভলেখ চিত্রে দেখানো হলো।

চিত্র দেখে নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাওঃ

ক) কোন ওভারে সবচেয়ে বেশি রান দিয়েছেন?

খ) দশ ওভারে তিনি মোট কত রান দিয়েছেন?

গ) ওভার প্রতি তিনি গড়ে কত রান দিয়েছেন?

সমাধানঃ

ক)

এখানে স্তম্ভলেখচিত্র লক্ষ্য করলে দেখতে পাই, সবচেয়ে বড় স্তম্ভ লেখটি চতুর্থ ওভারে আছে যেখানে রান সংখ্যা ১২।

অর্থাৎ তিনি ৪র্থ ওভারে সবচেয়ে বেশি রান দিয়েছেন।

খ)

স্তম্ভলেখ থেকে প্রত্যেক ওভারের রান সংখ্যা নিয়ে যোগ করে পাই,

৫+৭+৩+১২+৪+৭+২+৬+৪+৫ = ৫৫

অর্থাৎ ১০ ওভারে তিনি মোট রান দিয়েছেন ৫৫.

গ)

খ হতে পাই,

তিনি ১০ ওভারে তিনি মোট রান দিয়েছেন ৫৫

তাহলে গড় রান

মোট রান

= ————–

মোট ওভার

= ^৫৫/_১০

= ৫.৫

অর্থাৎ, ওভার প্রতি তিনি গড়ে ৫.৫ রান দিয়েছেন।

৪. ৫০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখো। সংখ্যাগুলোর গড় ও মধ্যক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

৫০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলোঃ-

২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩ এবং ৪৭

সংখ্যাগুলোর গড় নির্ণয়ঃ

সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২+৩+৫+৭+১১+১৩+১৭+১৯+২৩+২৯৩১+৩৭+৪১+৪৩+৪৭ = ৩২৮

মোট সংখ্য = ১৫

অতএব,

সংখ্যাগুলোর গড়

সংখ্যাগুলোর যোগফল

= ————————-

মোট সংখ্যা

= ^৩২৮/_১৫

= ২১.৮৬৬

= ২১.৮৭ (প্রায়)

সংখ্যাগুলোর মধ্যক নির্ণয়ঃ

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,

২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭

এখানে উপাত্তের সংখ্যা ১৫টি। তাই উভয় পাশ হতে ৭টি করে উপাত্ত অতিক্রম করলে যে মানটি পাওয়া যাবে তাই মধ্যক।

২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩৭,৪১,৪৩,৪৭

এখানে মধ্যক হলো ১৯

৫.

স্তম্ভগুলোর উচ্চতা (মিটার) দেওয়া আছে। উপাত্তগুলোর মধ্যক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

স্তম্ভলেখে প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে তাদের মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,

৭,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫,১৬,১৮,১৯,২০,২১,২১,২৩,২৪,২৫,২৫

এখানে উপাত্তের সংখ্যা ১৮টি। একে ২ দিয়ে ভাগ করলে পাই ৯।

তাই ৯ম ও ১০ পদের যোগফলকে ২ দ্বারা ভাগ করলেই মধ্যক পাওয়া যাবে।

৭,৯,১০,১১,১২,১৩,১৪,১৫,১৬,১৮,১৯,২০,২১,২১,২৩,২৪,২৫,২৫

∵ মধ্যক = (৯ম পদ + ১০ম পদ) ÷ ২ = (১৬ + ১৮) ÷ ২ = ৩৮ ÷ ২ = ১৭

৬. উপাত্তগুলোর গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

গড় নির্ণয়ঃ

উপাত্তগুলোর যোগফল

= ১২ + ৭ + ২৩ + ১১ + ৯ +১৪ + ২৫ + ৫ + ১৮ + ১৩ + ২১ + ১৭ + ৩ + ১০ + ১৬ + ২৪ + ১৯ + ১৫ + ৮ + ২৭ + ১৭ + ১৫ + ১২ + ২৬ + ২৩ + ২২ + ২৮ + ১২ + ২৯ + ১৭ = ৪৯৮

উপাত্তের সংখ্যা = ৩০

অতএব, গড়

= উপাত্তগুলোর যোগফল ÷ উপাত্তের সংখ্যা

= ৪৯৮ ÷ ৩০

= ১৬.৬

মধ্যক নির্ণয়ঃ

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধবঃক্রমে সাজিয়ে পাইঃ-

৩, ৫, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১২, ১২, ১৩, ১৪, ১৫, ১৫, ১৬, ১৭, ১৭, ১৭, ১৮, ১৯, ২১, ২২, ২৩, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ২৯

এখানে উপাত্তের সংখ্যা = ৩০টি। একে ২ দিয়ে ভাগ করলে পাই ১৫.

তাহলে উপাত্তের উর্ধবক্রমের ১৫তম ও ১৬তম পদের মানের গড় হলো নির্ণেয় মধ্যক।

১৫তম পদ = ১৬

১৬তম পদ = ১৭

∵ মধ্যক = (১৫ম পদ + ১৬ম পদ) ÷ ২ = (১৬ + ১৭) ÷ ২ = ৩৩ ÷ ২ = ১৬.৫

প্রচুরক নির্ণয়ঃ

প্রদত্ত উপাত্তগুলোর মধ্যে ১২ ও ১৭ সর্বাধিক ৩ বার করে আছে।

∵ প্রচুরক হলোঃ ১২ ও ১৭

৭. তোমার শ্রেণির/পূর্বের শ্রেণির/পরের শ্রেণির ২০/২৫ জন শিক্ষার্থীর সাথে কথা বলে নিচের তথ্যগুলো সংগ্রহ করে (তাদের বয়স, দৈনিক পড়াশুনার সময়, দৈনিক খেলাধুলার সময়, দৈনিক ঘুমানোর সময় ইত্যাদি) নিচের নমুনা অনুসারে একটি তালিকা বা সারণি তৈরি করো।

সমাধানঃ

এই প্রশ্নের উত্তর পরবর্তিতে সংযোজন করা হবে। অতি জরুরী ক্ষেত্রে আমাদের Contact Page থেকে যোগাযোগ করতে অনুরোধ করা হলো। ধন্যবাদ।

ত্রিমাত্রিক বস্তুর গল্পঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান ত্রিমাত্রিক বস্তুর উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

আমাদের চারপাশে দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক নানা আকৃতির বস্তু আছে। যেমন : বিভিন্ন আকৃতির বাক্স, ইট, ফুটবল, ক্রিকেট বল, আলমারি, কাগজ, খাতার পৃষ্ঠা, সংবাদপত্র, ম্যাচ বাক্স, পাইপ, আপেল, কমলা, বই ইত্যাদি। সবগুলো বস্তু দেখতে একরকম নয়, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলোও ভিন্ন ভিন্ন। এই অধ্যায়ে আমরা যে সকল সমস্যার সমাধান করব তা ত্রিমাত্রিক বস্তুর গল্প সংবলিত সমস্যা। চল শুরু করি সমস্যার সমাধান।

দশম অনুশীলনী: ত্রিমাত্রিক বস্তুর গল্প

১) ছবিতে দেখানো পরিমাপ অনুসারে কাগজ কেটে এবং ভাঁজ করে স্কচটেপ দিয়ে আটকে আয়তাকার ঘনবস্তু তৈরি করো। আয়তাকার ঘনবস্তুটির আয়তন কত হবে?

সমাধানঃ

কাগজ কেটে ভাজ করে স্কচটেপ দিয়ে আটকে আয়তাকার ঘনবস্তু তৈরির প্রক্রিয়াঃ

1. একটি কাগজে প্রদত্ত মাপ অনুসারে ছয়টি আয়তক্ষেত্র পেন্সিল দিয়ে (১) নং নির্দেশনার মতো অঙ্কন করি।
2. তারপর (২) নং ছবির মতো করে দাগাঙ্কিত অংশটুকু কাগজ থেকে কেটে আলাদা করি।
3. এখন (৩) নং নির্দেশনা অনুসারে কাগজটিকে ভাঁজ করে একটি বাক্স তৈরি করি।
4. তারপর (৪) নং নির্দেশনা অনুসারে স্কচটেপ দিয়ে বাক্সের তলগুলো পরস্পরের সাথে লাগিয়ে দিলেই আয়ত আকৃতির বাক্স তৈরি করি।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির আয়তন নির্ণয়ঃ

প্রদত্ত চিত্র হতে পাই,

আয়তাকার ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য = 7 সেমি।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির প্রস্থ = 5 সেমি।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির উচ্চতা = 2 সেমি।

তাহলে,

ঘনবস্তুটির আয়তন

= (দৈর্ঘ্য×প্রস্থ×উচ্চতা) ঘন সেমি

= (7×5×2) ঘন সেমি

= 70 ঘন সেমি।

২। নিচের চিত্রটি একটি আয়তাকার বাক্সের খোলা অবস্থার ছবি। ছবিতে দেখানো পরিমাপগুলো সেন্টিমিটার এককে প্রদত্ত।

ক) a, x, y এর মান নির্ণয় করো।

খ) বাক্সটির আয়তন নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

চিত্র হতে পাই,

বাক্সটির দৈর্ঘ্য = 10 সেন্টিমিটার, প্রস্থ = 6 সেন্টিমিটার ও উচ্চতা = 4 সেন্টিমিটার।

(ক)

চিত্র হতে বাক্সটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা তুলনা করে পাই,

x = 10 সেমি

y = 6 সেমি

a = 4 সেমি

(খ)

বাক্সটির আয়তন

= x×y×a ঘন সেমি

= 10×6×4 ঘন সেমি

= 240 ঘন সেমি

৩) ছবিতে দেখানো আকৃতিগুলোর প্রত্যেকটি তৈরি করতে কতগুলো ছোট ঘনক আকৃতির টুকরা প্রয়োজন?

সমাধানঃ

মনে করি, প্রত্যেকটি ছোট ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য = a

তাহলে, ছোট ঘনকের আয়তন = a³

এখন,

ছবিতে দেখানো বড় ঘনকটিতে আরও একটি ছোট ঘনক স্থাপন করলে বড় ঘনকটির ধারের দৈর্ঘ্য হয় 3a [কারন সেক্ষেত্রে এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বরাবর ৩টি করে ছোট ঘনক থাকে]

তখন, বড় ঘনটির আয়তন = (3a)³ = 27a³

এবার,

a³ আয়তন দখল করে 1 টি ছোট ঘনক

তাহলে,

27a³ আয়তন দখল করে (27a³ ÷ a³) টি ছোট ঘনক

= 27 টি ছোট ঘনক।

এখন প্রদত্ত চিত্রে যেহেতু একটি ছোট ঘনক অপসারন করা হয়েছে, সেক্ষেত্রে বড় ঘনকটি তৈরিতে ছোট ঘনক লাগবে (27-1) টি = 26 টি।

৪) ৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত বই দিয়ে তোমার শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের লাইব্রেরির বুকশেলফের একটি তাক পূরণ করতে কতগুলো বই লাগবে তা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

শিক্ষকের সহায়তা নিয়ে নিজে কর। শীঘ্রই আমরা এর সমাধান নিয়ে আসব।

৫) একটি ট্রাকে ১২ ফুট × ৬ ফুট × ৮ ফুট জায়গায় কার্টন ভরে পরিবহন করা যায়। প্রতিটি কার্টনের আকার ২ ফুট × ২ ফুট × ১ ফুট হলে মোট কয়টি কার্টন পরিবহন সম্ভব?

সমাধানঃ

১ টি কার্টনের আকার = ২ ফুট × ২ ফুট × ১ ফুট = ৪ ঘন ফুট

আবার,

ট্রাকে কার্টন রাখার জন্য জায়গার আকার = ১২ ফুট × ৬ ফুট × ৮ ফুট = ৫৭৬ ঘন ফুট।

তাহলে, ট্রাকে মোট কার্টন পরিবহন করা যাবে (৫৭৬ ÷ ৪) টি কার্টন = ১৪৪ টি কার্টন।

৬) নিচের চিত্রের কাগজটির মতো ২০০টি কাগজ একটির উপর আরেকটি রেখে একটি কাগজের স্তুপ তৈরি করা হলো।

ক) কাগজের স্তুপটির আয়তন কত হবে?

খ) একটি কাগজের পুরুত্ব কত?

সমাধানঃ

(ক)

চিত্রে, ১টি কাগজ ও ২০০টি কাগজের স্তুপ পর্যালোচনা করে পাই,

কাগজের স্তুপটির দৈর্ঘ্য = ৭ সেমি, প্রস্থ = ৪ সেমি ও উচ্চতা = ৩ সেমি।

তাহলে, কাগজের স্তুপটির আয়তন = (৭×৪×৩) ঘন সেমি = ৮৪ ঘন সেমি।

(খ)

কাগজের স্তুপ চিত্র হতে পাই,

২০০টি কাগজের পুরুত্ব = ৩ সেমি

∵ ১টি কাগজের পুরুত্ব = (৩ ÷ ২০০) সেমি = ০.০১৫ সেমি।

৭। নিচের ছবিতে এফোর সাইজের কাগজের একটি প্যাকেট দেখা যাচ্ছে।

প্যাকেটে কী কী লেখা আছে দেখো এবং সেই অনুসারে নিচের সারণিটি পূরণ করো। প্রয়োজনে শিক্ষকের সহায়তা নাও।

এবার নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও

ক) একটি কাগজের ওজন কত?

খ) পুরো প্যাকেটের ওজন কত?

গ) প্যাকেটটি কতটুকু উঁচু তা পরিমাপ করে তুমি কি একটি কাগজের পুরুত্ব নির্ণয় করতে পারবে?

সমাধানঃ

প্যাকেটের লেখা অনুসারে ছক পূরণঃ

(ক)

আমরা জানি, 1 মিটার = 1000 মিলিমিটার

∵ একটি কাগজের দৈর্ঘ্য = 297 মিলিমিটার = 0.297 মিটার এবং প্রস্থ = 210 মিলিমিটার = 0.210 মিটার

তাহলে, একটি কাগজের ক্ষেত্রফল = (0.297×0.210) বর্গ মিটার = 0.06237 বর্গ মিটার

এখন,

কাগজের 1 বর্গমিটারে ওজন 80 গ্রাম

∵ কাগজের 0.06237 বর্গমিটারে ওজন (80×0.06237) গ্রাম = 4.9896 গ্রাম।

অর্থাৎ একটি কাগজের ওজন 4.9896 গ্রাম।

(খ)

প্রতি প্যাকেটে কাগজের সংখায় = 500 টি

এখন,

ক হতে পাই,

1 টি কাগজের ওজন 4.9896 গ্রাম

∵ 500 টি কাগজের ওজন (4.9896×500) গ্রাম = 2494.8 গ্রাম = 2.4948 কেজি।

তাহলে, পুরো প্যাকেটের ওজন 2.4948 কেজি।

(গ)

প্যাকেটটি পরিমাপ করে এর পুরুত্ব পাই 7.5 সেমি

প্যাকেটটিতে কাগজ আছে 500 টি।

∵ 500 টি কাগজের পুরুত্ব = 7.5 সেমি

∵ 1 টি কাগজের পুরুত্ব = (7.5 ÷ 500) সেমি = 0.015 সেমি।

দৈর্ঘ্য মাপিঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান দৈর্ঘ্য মাপি এর উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

দৈনন্দিন জীবনের প্রায় প্রতিটি কাজের সাথেই আমাদের মাপ-জোখ করতে হয়। তোমরা বাজারে গিয়ে যখন প্রয়োজনীয় বিভিন্ন জিনিস যেমন: চাল, ডাল, তেল, লবণ, চিনি, রশি, বৈদ্যুতিক তার ইত্যাদি ক্রয় করো তখন দোকানদার তোমার চাহিদামতো জিনিসগুলো মেপে দেন। আর এই মাপ-জোখের বিষয়টাকেই আমরা পরিমাপ বলে থাকি। তোমরা খেয়াল করে দেখবে যে, দোকানদার সকল ধরনের জিনিসপত্র একভাবে মাপেন না। যেমন: চাল, ডাল মাপের ক্ষেত্রে যে যন্ত্র ব্যবহার করেন, দড়ি বা বৈদ্যুতিক তার মাপার সময় ঐ যন্ত্রটি ব্যবহার করেন না। কোন কিছু কতখানি লম্বা বা চওড়া – এসব মাপার জন্য আমরা দৈর্ঘ্য পরিমাপক ব্যবহার করি। আর এই সকল পরিমাপকের এককের সাথে তুলনা করেই আমরা বিভিন্ন সময়ে বিভিন্ন রকম জিনিসের দৈর্ঘ্য মেপে থাকি। আজ আমরা এই দৈর্ঘ্য মাপি অধ্যায়ে প্রদত্ত অনুশীলনীর সমস্যাবলির সমাধান করব।

১। নিচের চিত্রে দেখানো পেন্সিলটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধানঃ

ক) স্কেল বরাবর পেন্সিলের অবস্থান থেকে পেন্সিলের অগ্রভাগের অবস্থান হলো ২.৮ সেমি এর ঘরে।

খ) এবং পেন্সিলের পছনের প্রান্তের অবস্থান হলো ১১.৯ সেমি এর ঘরে।

গ) তাহলে পেন্সিলটির দৈর্ঘ্য হলোঃ (১১.৯ – ২.৮) সেমি = ৯.১ সেমি।

২। চিত্রে গিটারটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধানঃ

ক) চিত্রে স্কেলটি একটি সেন্টিমিটার স্কেল যেখানে প্রতি ১০ সেন্টিমিটারের অংশ ৫ ভাগে বিভক্ত করা আছে। সেই হিসাবে প্রতি ক্ষুদ্রতম অংশের মাপ হলো ^১০/_৫ সেমি = ২ সেমি।

খ) গিটারের অবস্থান অনুসারে এর পিছনের প্রান্তের অবস্থান স্কেলের (২ ও ৩ ঘরের মাঝে) অর্থাৎ ২.৫ ঘরে অবস্থিত। তাহলে ২.৫ ঘরের মাপ হলো ২.৫×২ সেমি = ৫ সেমি।

গ) একইভাবে গিটারের অগ্রভাগের অবস্থান পেন্সিলের (৭০+৩.৫×২) সেমিতে = ৭৭ সেমিতে।

ঘ) তাহলে গিটারের দৈর্ঘ্য = (৭৭ – ৫) সেমি = ৭২ সেমি = ^৭২/_১০০ মিটার = ০.৭২ মিটার [১০০ সেমি = ১ মিটার বলে]।

৩। নিচের কোন লাইনটি বড়? অনুমান করো। এবার (ক) ও (খ) লাইন দুইটি সেন্টিমিটারে মেপে তোমার অনুমান যাচাই করো।

সমাধানঃ

নিজে চেষ্টা কর।

[সেন্টিমিটার স্কেল নিয়ে ক চিত্রের লাইনের এক প্রান্তে স্কেলের ০ কে স্থাপন করে অপর প্রান্ত পর্যন্ত সমান্তরালভাবে স্কেলটি স্থাপন করে স্কেলের মাপ নাও। একইভাবে খ এর দৈর্ঘ্যও মাপ। এবং অতঃপর ক ও খ এ দৈর্ঘ্যের তুলনা দাও।]

৪। নিচের চিত্রের মরিচটির দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটার এবং মিলিমিটারে নির্ণয় করো। তারপর মিলিমিটারে প্রাপ্ত দৈর্ঘ্য টিকে সেন্টিমিটারে প্রকাশ করো।

সমাধানঃ

মরিচটির পেছনের প্রান্ত স্কেলের ০ বরাবর অবস্থিত এবং সামনের প্রান্ত ৬ হতে ৭.৫ ঘর বরাবর অবস্থিত।

অর্থাৎ, মরিচটির দৈর্ঘ্য ৬ সেমি ৭.৫ মিমি

এখন,

৬ সেমি ৭.৫ মিমি

= ৬ সেমি + ^৭.৫/_১০ সেমি [১০ মিমি = ১ সেমি বলে]

= ৬ সেমি + ০.৭৫ সেমি

= ৬.৭৫ সেমি

আবার,

৬ সেমি ৭.৫ মিমি

= ৬×১০ মিমি +৭.৫ মিমি  [১০ মিমি = ১ সেমি বলে]

= ৬০ মিমি +৭.৫ মিমি

= ৬৭.৫ মিমি

আর্থাৎ, মরিচটির দৈর্ঘ্য ৬.৭৫ সেমি বা ৬৭.৫ মিমি

আবার,

৬৭.৫ মিমি

= ^৬৭.৫/_১০ সেমি  [১০ মিমি = ১ সেমি বলে]

= ৬.৭৫ সেমি [মিলি হতে সেমিতে প্রকাশ করা হলো]

৫। শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের বার্ষিকর্ষি ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় দীর্ঘ লাফে ষষ্ঠ শ্রেণির ৫ জন শিক্ষার্থীর অতিক্রান্ত দূরত্ব নিচে দেওয়া হলো:

ক) অতিক্রান্ত দূরত্বগুলোকে মিটার ও সেন্টিমিটারে প্রকাশ করো।

খ) কোন তিনজন শিক্ষার্থী বিজয় মঞ্চের ১ম, ২য় ও ৩য় স্থানে দাঁড়িয়ে জাতীয় পতাকাকে সম্মান প্রদর্শন করবে?

সমাধানঃ

(ক)

অতিক্রান্ত দূরত্বকে মিটার ও সেন্টিমিটারে প্রকাশ করা হলোঃ

উল্লেখ্য, ১ মিটার = ১০০ সেন্টিমিটার।

(খ)

ক হতে সেন্টিমিটারের দূরত্বগুলো তুলনা করে পাই,

৪৫০ সেমি > ৪০৫ সেমি > ৩৮০ সেমি > ৩৫০ সেমি > ৩০৮ সেমি

বা, ৪.৫০ মি > ৪.০৫ মি > ৩.৮০ মি > ৩.৫০ মি > ৩.০৮ মি

এখন, বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় দীর্ঘ লাফে মনিকা চাকমা ৪.৫০ মি, সুবর্ণা রায় ৪.০৫ মি ও আদিবা ৩.৮০ মিটার অতিক্রম করে।

অর্থাৎ, মনিকা চাকমা, সুবর্ণা রায় এবং আদিবা যথাক্রমে বিজয় মঞ্চের ১ম, ২য় ও ৩য় স্থানে দাঁড়িয়ে জাতীয় পতাকাকে সম্মান প্রদর্শন করবে?

৬। নিচের চিত্রের মতো শিখাসহ তিনটি ভিন্ন উচ্চতার তিনটি মোমবাতির ছবি আঁকো। তোমার আঁকা ছবি তিনটি মেপে নিচের ছকটি পূরণ করো।

সমাধানঃ

নিজে চেষ্টা কর।

৭। সেন্টিমিটার বা ইঞ্চি স্কেল দ্বারা একটি মার্বেলের ব্যাস সেন্টিমিটার ও ইঞ্চিতে পরিমাপ করো।

সমাধানঃ

নিজে চেষ্টা কর।

৮। দূরত্বের পাজল : নিচের ছবি দেখে প্রশ্নের উত্তরগুলো দেওয়ার চেষ্টা করো।

(ক) বাড়ি থেকে কোন কোন পথে বাজারে যাওয়া যায়? প্রতিটি পথের দূরত্ব নির্ণয় করে সবচেয়ে কম দূরত্বের পথ খজেুঁ বের করো।

(খ) নদীর ঘাট থেকে কোন কোন পথে হাসপাতালে যাওয়া যায়? প্রতিটি পথের দূরত্ব নির্ণয় করে সবচেয়ে কম দূরত্বের পথ খজেুঁ বের করো।

সমাধানঃ

(ক)

বাড়ি থেকে বাজারে দুইটি পথে যাওয়া যায়। পথ দুটি হলোঃ

– নদীর ঘাটের পাশের রাস্তা ও

– হাসপাতাল ও বিদ্যালয়ের পাশের রাস্তা।

বাড়ি থেকে বাজারের দূরত্ব নির্ণয়ঃ

নদীর ঘাটের পাশের রাস্তার দূরত্ব

= বাড়ী হতে নদীর ঘাটের দূরত্ব + নদীর ঘাট হতে বাজারের দূরত্ব

= ১০৬০০ মিটার + ৮৪০০ মিটার

= ১৯০০০ মিটার

হাসপাতাল ও বিদ্যালয়ের পাশের রাস্তার দূরত্বঃ

= বাড়ি হতে হাসপাতালের দূরত্ব + হাসপাতাল হতে বিদ্যালয়ের দূরত্ব + বিদ্যালয় হতে বাজারের দূরত্ব

= ১০ কিমি + ৬০০ মি + ১২ কিমি

= ১০০০০ মিটার + ৬০০ মিটার + ১২০০০ মিটার

= ২২৬০০ মিটার

এখন, ১৯০০০ মিটার < ২২৬০০ মিটার

অর্থাৎ, নদীর ঘাটের পাশের রাস্তার দূরত্ব কম।

(খ)

নদীর ঘাট থেকে হাসপাতালে দুইটি পথে যাওয়া যায়। পথ দুটি হলোঃ

– বাড়ির পাশের রাস্তা ও

– বাজার ও বিদ্যালয়ের পাশের রাস্তা।

নদীর ঘাট হতে হাসপাতালের দূরত্ব নির্ণয়ঃ

বাড়ির পাশের রাস্তার দূরত্ব

= নদীর ঘাট হতে বাড়ির দূরত্ব + বাড়ি হতে হাসপাতালের দূরত্ব

= ১০৬০০ মিটার + ১০ কিমি

= ১০৬০০ মিটার + ১০০০০ মিটার

= ২০৬০০ মিটার

বাজার ও বিদ্যালয়ের পাশের রাস্তার দূরত্বঃ

= নদীর ঘাট হতে বাজারের দূরত্ব + বাজার হতে বিদ্যালয়ের দূরত্ব + বিদ্যালয় হতে হাসপাতালের দূরত্ব

= ৮৪০০ মিটার + ১২ কিমি + ৬০০ মিটার

= ৮৪০০ মিটার + ১২০০০ মিটার + ৬০০ মিটার

= ২১০০০ মিটার

এখন, ২০৬০০ মিটার < ২১০০০ মিটার

অর্থাৎ, বাড়ির পাশের রাস্তার দূরত্ব কম।

দ্বিমাত্রিক বস্তুর গল্পঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান দ্বিমাত্রিক বস্তুর গল্পের উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

জ্যামিতি গণিতের পুরোনো কিন্তু মজার একটি শাখা। কারণ জ্যামিতি জেনেই আমরা আমাদের খেলার মাঠ, বাগান, ঘর-বাড়ি, জমিজমা ইত্যাদি পরিমাপ করে থাকি। নিশ্চয়ই জানতে ইচ্ছে করছে জ্যামিতি শব্দটির মানে কী? জানা যায়, গ্রিকদেশের মানুষরা ভূমিকে Geo বলত এবং পরিমাপকে বলত metron| এই Geo এবং metron মিলেই হলো Geometry, বাংলায় আমরা বলি জ্যামিতি। এবার তাহলে প্রশ্ন করতে পারো এই জ্যামিতির প্রয়োজন কেন হয়েছিল? আজ থেকে অনেক অনেক বছর আগে কৃষিকে নির্ভর করে গড়ে উঠেছিল বিভিন্ন সভ্যতা। কৃষি কাজের জন্য প্রয়োজন হয় জমিজমার। আর এই জমিজমা পরিমাপের জন্যই প্রয়োজন হয় জ্যামিতির। তবে আজকাল জ্যামিতি শুধু জমি পরিমাপের জন্য ব্যবহার হয় না। গণিতের অনেক জটিল সমস্যাও জ্যামিতির জ্ঞান ব্যবহার করে সমাধান করা হচ্ছে। প্রাচীন মিশর, চীন, ব্যাবিলন, ভারতবর্ষ, ও দক্ষিণ আমেরিকার ইনকা সভ্যতার বিভিন্ন কাজে জ্যামিতি ব্যবহারের প্রমাণ পাওয়া যায়। আর জ্যামিতির বিভিন্ন বস্তু যেমন কোন, ত্রিভুজ, আয়ত ইত্যাদির বিষয়াদি নিয়েই আমাদের দ্বিমাত্রিক বস্তুর গল্প সাজানো হয়েছে এই আর্টিকেলে, মূলত গাণিতিক সমস্যাবলিই আমাদের মূল লক্ষ্য।

আরও তথ্যঃ প্রাচীন গ্রিক সভ্যতার যুগেই জ্যামিতির সাজানো গোছানো সুন্দর রূপটি স্পষ্টভাবে দেখা যায়। গ্রিক পন্ডিত ইউক্লিড জ্যামিতির সুত্রগুলোকে সুবিন্যিস্ত করে তাঁর বিখ্যাত গ্রন্থ Elements রচনা করেন। এছাড়া জ্যামিতিকে সমৃদ্ধ করার ক্ষেত্রে থেলিস, পিথাগোরাস, প্লেটো, টলেমি, আর্কিমিডি স সহ আরও অসংখ্য গণিতবিদের অবদান রয়েছে।

পাঠ্যপুস্তকে প্রদত্ত সমস্যাবলিঃ

নিচের ছকটি লক্ষ করি এবং খালি ঘরগুলি পূরন করিঃ

চিত্রঃ

১. চিত্রে, AB = ১০০ সেমি, AC = ১২০ সেমি এবং  BD = ৮০ সেমি হলে CE = ?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

AB = ১০০ সেমি

AC = ১২০ সেমি

BD = ৮০ সেমি

এখানে,

ΔACB এর ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×AC×BD বর্গ একক  [AC ভুমি ও BD উচ্চতা ধরে]

= ^১/_২×১২০০×৮০ বর্গ সেমি

= ৪৮০০ বর্গ সেমি

আবার,

ΔABC এর ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×AB×CE বর্গ একক  [AB ভুমি ও CE উচ্চতা ধরে]

= ^১/_২×১০০×CE বর্গ সেমি

= ৫০ CE বর্গ সেমি

চিত্রে, ΔACB ও ΔABC একই ত্রিভুজ।

তাহলে,

ΔACB এর ক্ষেত্রফল = ΔABC এর ক্ষেত্রফল

বা, ৪৮০০ বর্গ সেমি = ৫০ CE বর্গ সেমি

বা, ৪৮০০ = ৫০ CE

বা, CE = ^৪৮০০/_৫০

বা, CE = 96 সেমি

উত্তরঃ CE = ৯৬ সেমি।

২) চিত্রে, ABC ত্রিভুজের BD মধ্যমা এবং BC বাহুর দৈর্ঘ্য AD এর দ্বিগুণ। ত্রিভুজটি কী ধরনের? উত্তরের স্বপক্ষে যুক্তি দাও।

সমাধানঃ

ধরি, AD = x একক

শর্তমতে,

BC = 2x একক [যেহেতু, BC বাহু AD এর দ্বিগুণ]

আবার,

BD মধ্যমা, AC কে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে।

সেহেতু,

AD = DC

∴  AC = AD + DC

বা, AC = x + x

বা, AC = 2x  [AD = x বলে]

তাহলে, BC = AC = 2x

অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

৩) একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য ৫ সেমি, ১২ সেমি এবং ১৩ সেমি।

ক) আনুপাতিক চিত্র অংকন করো।

খ) সমকৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

ক)

আনুপাতিক চিত্র নিন্মরুপঃ

খ)

বিশেষ নির্বচনঃ

মনে করি ABC ত্রিভুজের, AB = ১২ সেমি, BC = ৫ সেমি,  AC = ১৩ সেমি এবং এর ∠ABC = এক সমকোণ। B বিন্দু হতে AC এর উপর অঙ্কিত লম্ব এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

অঙ্কনঃ B বিন্দু হতে AC এর উপর লম্ব p আঁকি।

P এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ

ΔABC –এ, যখন BC ভূমি ও AB  উচ্চতা

তখন এর ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×AB×BC বর্গ সেমি

= ^১/_২×১২×৫ বর্গ সেমি

= ৩০ বর্গ সেমি

আবার, যখন AC ভুমি ও p  উচ্চতা

তখন এর ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×AC×p বর্গ সেমি

= ^১/_২×১৩×p বর্গ সেমি

তাহলে,

৩০ বর্গ সেমি = = ^১/_২×১৩×p বর্গ সেমি

বা, ১৩p = ৬০

বা, p = ^৬০/_১৩ = ৪^৮/_১৩

∵ সমকৌণিক বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ৪^৮/_১৩ সেমি।

# বাম পাশের চিত্রগুলোর সাথে ডান পাশের শর্তগুলো মিলাওঃ

সমাধানঃ

১ম চিত্র à ৬টি তল কিন্তু প্রত্যেকটি তল সমান নয়।

২য় চিত্র à ৩টি বাহু ও ১টি তল।

৩য় চিত্র à ১টি বক্রতল।

৪র্থ চিত্র à ৪টি বাহু ও ১টি তল।

৫ম চিত্র à ৬টি তল এবং প্রত্যেকটি তল সমান।

৬ষ্ট তল à ১টি আবদ্ধ বক্ররেখা ও ১টি তল।

বাস্তব সমস্যার গল্পঃ

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান বাস্তব সমস্যার গল্পের উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

১. বাগানটির ঠিক মাঝ বরাবর আড়াআড়িভাবে ১ মিটার চওড়া রাস্তা আছে। বাগানটির পরিসীমা কত হবে? চলো রাস্তা দুইটির মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

সমাধানঃ

বাগানটির পরিসীমা

= ২×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

=২(৩০+৪০) মিটার

= ২×৭০ মিটার

= ১৪০ মিটার

রাস্তাটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ

দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল

= (৪০×১) বর্গ মিটার

= ৪০ বর্গ মিটার

প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল

= (৩০×১) বর্গ মিটার

= ৩০ বর্গ মিটার

আবার,

রাস্তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর মাঝের জায়গাটির ক্ষেত্রফল

= (১×১) বর্গ মিটার

রাস্তাটির ক্ষেত্রফল হবে (৪০ + ৩০ – ১) বর্গ মিটার

= ৬৯ বর্গ মিটার

২. একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল একটি বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফলের সমান। আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ। প্রতি মিটার দড়ির মূল্য ৭ টাকা। দড়ি দিয়ে দুইবার ঘুরিয়ে জমির চারদিকে বেষ্টনি দিতে মোট ৫৬০০ টাকা খরচ হয়।

ক) আয়তাকার জমির পরিসীমা কত হবে?

খ) বর্গাকার জমিতে প্রতি ৪ বর্গমিটার জায়গায় একটি করে পেঁপের চারা রোপন করলে কতটি চারা লাগবে?

সমাধানঃ

ক)

৭ টাকায় বেষ্টনি দেয়া যায় ১ মিটার

∵১ টাকায় বেষ্টনি দেয়া যায় ^১/_৭ মিটার

∵ ৫৬০০ টাকায় বেষ্টনি দেয়া যায় ^১/_৭×৫৬০০ মিটার

= ৮০০ মিটার

প্রশ্নানুসারে, দড়ি দিয়ে দুইবার ঘুরিয়ে জমির চারদিকে বেষ্টনি দিতে মোট ৫৬০০ টাকা খরচ হয়।

অর্থাৎ, ২ বার ঘুরিয়ে জমির পরিসীমা ৮০০ মিটার

তাহলে ১ বার ঘুরিয়ে জমির পরিসীমা ^৮০০/_২ মিটার = ৪০০ মিটার।

∵ আয়তাকার জমির পরিসীমা ৪০০ মিটার।

খ)

ধরি, আয়তাকার জমির প্রস্থ = ক মিটার

তাহলে, আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য ৪ক মিটার

∵ আয়তাকার জমির পরিসীমা

= ২(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

= ২(৪ক+ক) একক

= ২×৫ক মিটার

= ১০ক মিটার

পূর্বের থেকে পেয়েছি, আয়তাকার জমির পরিসীমা ৪০০ মিটার।

তাহলে,

১০ক মিটার = ৪০০ মিটার

বা, ১০ক = ৪০০

বা, ক = ৪০

অর্থাৎ,

আয়তাকার জমির প্রস্থ = ৪০ মিটার

আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = ৪×৪০ মিটার = ১৬০ মিটার।

∵ আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল

= (৪০×১৬০) বর্গ মিটার

= ৬৪০০ বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,

আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল = বর্গাকার জমির ক্ষেত্রফল

৪ বর্গ মিটার জায়গায় লাগানো যায় ১টি পেঁপের চারা

∵ ১ বর্গ মিটার জায়গায় লাগানো যায় ^১/_৪টি পেঁপের চারা

∵ ৬৪০০ বর্গ মিটার জায়গায় লাগানো যায় ^১/_৪×৬৪০০টি পেঁপের চারা = ১৬০০ টি পেপের চারা।

৩.

চিত্রে সামন্তরিক ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৮০ মিটার এবং এর ক্ষেত্রফল একাধিক উপায়ে নির্ণয় করা যায়।

ক) সামন্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল যৌক্তিক ব্যাখ্যাসহ একাধিক পদ্ধতিতে নির্ণয় করো।

খ) দেখাও যে, সামন্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ত্রিভূজক্ষেত্র ABD এর দ্বিগুণ।

সমাধানঃ

এখানে, সামন্তরিক ক্ষেত্রটির পরিসীমা ১৮০ মিটার

সামন্তরিক ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ২ক মিটার

সামন্তরিক ক্ষেত্রটির প্রস্থ ক মিটার

প্রশ্নানুসারে,

২(২ক+ক) = ১৮০

বা, ২×৩ক = ১৮০

বা, ৬ক = ১৮০

বা, ক = ৩০

∵ সামন্তরিক ক্ষেত্রটির প্রস্থ ৩০ মিটার

∵ সামন্তরিক ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ২×৩০ মিটার = ৬০ মিটার

∵ সামন্তরিকটির ক্ষেত্রফল

= (ভূমি×উচ্চতা) বর্গ একক

= ৬০×৫ বর্গ মিটার

= ৩০০ বর্গ মিটার

আরেকটি পদ্ধতিঃ

ABD ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×ভূমি×উচ্চতা বর্গ একক

= ^১/_২×৬০×৫ বর্গ মিটার

= ১৫০ বর্গ মিটার

এখন সামন্তরিকের কর্ণ সামন্তরিকটিকে দুইটি সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে ফলে ABD এর ক্ষেত্রফল ও DBC এর ক্ষেত্রফল সমান হবে।

তাহলে,

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল

= ABD এর ক্ষেত্রফল + DBC এর ক্ষেত্রফল

= ABD এর ক্ষেত্রফল + ABD এর ক্ষেত্রফল

= ১৫০ বর্গ মিটার + ১৫০ বর্গ মিটার

= ৩০০ বর্গ মিটার

খ)

ক হতে পাই,

ABD এর ক্ষেত্রফল + DBC এর ক্ষেত্রফল = সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল

বা, ABD এর ক্ষেত্রফল + ABD এর ক্ষেত্রফল = সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল

বা, ২×( ABD এর ক্ষেত্রফল) = সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল [প্রমাণিত]

৪. একটি ঘরের মেঝে ২৬ মিটার লম্বা ও ২০ মিটার চওড়া। ৪ মি লম্বা ও ২.৫ মি চওড়া মাদুর দিয়ে মেঝেটি সম্পূর্ণ ঢাকা যাবে? প্রতিটি মাদুরের দাম ৪৫ টাকা হলে, মোট খরচ কত হবে?

সমাধানঃ

এখানে,

মেঝের দৈর্ঘ্য = ২৬ মিটার

মেঝের প্রস্থ = ২০ মিটার

∵ মেঝের ক্ষেত্রফল

= (দৈর্ঘ্য×প্রস্থ) বর্গ একক

= (২৫×২০) বর্গ মিটার

= ৫২০ বর্গ মিটার

আবার, মাদুরের দৈর্ঘ্য = ৪ মিটার

মাদুরের প্রস্থ = ২.৫ মিটার

∵ মাদুরের ক্ষেত্রফল

= (দৈর্ঘ্য×প্রস্থ) বর্গ একক

= (৪×২.৫) বর্গ মিটার

= ১০ বর্গ মিটার

অতএব, মেঝে ঢাকতে মাদুর লাগবে

= (মেঝের ক্ষেত্রফল/মাদুরের ক্ষেত্রফল) টি

= (৫২০/১০) টি

= ৫২ টি

আবার,

১টি মাদুরের দাম ৪৫ টাকা

∵ ৫২টি মাদুরের দাম (৪৫×৫২) টাকা = ১৩৪০ টাকা।

পূর্ণ সংখ্যার জগৎঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান পূর্ণ সংখ্যার জগৎ এর উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

মানুষের প্রয়োজনে প্রথমে 1, 2, 3,… এ সংখ্যাগুলো আবিষ্কৃত হয়। এগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Natural Numbers or Positive Integers) বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে 0 নিয়ে আমরা পাই, 0, 1, 2, 3,… এগুলোকে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Whole Numbers or Non – negative Integers) বলা হয়। আবার, …– 4, –3, –2, –1 এই সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা (Negative Integers)। অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ও ঋনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা একত্র করলে আমরা পাই, …– 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… এই সংখ্যাগুলো পূর্ণসংখ্যা (Integers) আর এই সকল সংখ্যা নিয়ে আজকের পূর্ণ সংখ্যার জগৎ।

আমরা এই অধ্যায়ের অনুশীলনীর সকল সমস্যার সমাধান প্রকাশ করছি। বিস্তারিত ধারনামূলক পোস্টও অন্য পোস্টে প্রকাশ করা হবে। চল আমরা অনুশীলনী অংশের সমাধানে যোগ দেইঃ

১) – a যোগাত্মক বিপরীত রাশি কোনটি?

(ক) + a

(খ) – a

(গ) ¹/_a

(ঘ) ^-1/_a

উত্তরঃ + a

২) 12 এর সাথে, এর যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যা (opposite numbers) যোগ করলে হয়–

(ক) 24

(খ) 12

(গ) 0

(ঘ) 24

উত্তরঃ 0

৩) □ – 15 = – 10 হলে □ চিহ্নিত স্থানের সংখ্যাটি কত?

(ক) – 25

(খ) – 5

(গ) 25

(ঘ) 5

উত্তরঃ 5

নিচের তথ্য আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

– 7, – 8, – 9 তিনটি পূর্ণসংখ্যা।

৪) প্রথম সংখ্যার সাথে দ্বিতীয় সংখ্যার যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যা যোগ করলে হয় –

(ক) 15

(খ) 1

(গ) 1

(ঘ) 15

উতরঃ 1

[ব্যখ্যাঃ – 7 + 8 = 1]

৫) প্রথম ও তৃতীয় সংখ্যার যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফলের সাথে দ্বিতীয় সংখ্যা যোগ করলে যোগফল A হলে

(ক) A < – 15

(খ) A > – 90

(গ) A > 97

(ঘ) A < – 97

উত্তরঃ খ

[ব্যাখ্যাঃ (7 + 9) + (– 8) = 8]

৬) A = 45 – (-11) এবং B = 57 + (-4) হলে

(i) A = 56

(ii) B = -53

(iii) A – B = 3

নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) (i) ও (ii)

(খ) (i) ও (iii)

(গ) (ii) ও (iii)

(ঘ) (i), (ii) ও (iii)

উত্তরঃ ক

৭) চিত্রের চিহ্নিত অংশে আছে।

(i) অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা

(ii) সকল মৌলিক সংখ্যা

(iii) সকল জোড় সংখ্যা

উত্তরঃ (i)

৮) বিয়োগফল নির্ণয় করো।

(ক) 35 – 20

(খ) 72 – 90

(গ) (-20) – 13

(ঘ) (-15) – (-18)

(ঙ) (-32) – (-40)

(চ) 23 – (-12)

সমাধানঃ

(ক)

35 – 20

= 15

(খ)

72 – 90

=  – (-72 +90)

= – (90 – 72)

= – (18)

= -18

(গ)

(-20) – 13

= – 20 – 13

= – (20 + 13)

= – 33

(ঘ)

(-15) – (-18)

= – 15 + 18

= 18 – 15

= 3

(ঙ)

(-32) – (-40)

= -32 + 40

= 40 – 32

= 8

(চ)

23 – (-12)

= 23 + 12

= 35

৯) নিচের ফাঁকা ঘরগুলোতে >, < বা = চিহ্ন বসাওঃ

(ক) (-3)(-3) + (-6) □ (-3) – (-6)

(খ) (-21) – (-10) □ (-31) + (-11)

(গ) 45 – (-11) □ 57 + (-4)

(ঘ) (-25) – (-42) □ (-42) – (-25)

সমাধানঃ

(ক) (-3)(-3) + (-6) □ (-3) – (-6)

এখানে,

(-3)(-3) + (-6)

= 9 – 6

= 3

আবার,

(-3) – (-6)

= -3 + 6

= 6 – 3

= 3

যেহেতু,  3 = 3, সেহেতু ফাঁকা ঘরে = বসিয়ে পাই,

(-3)(-3) + (-6) = (-3) – (-6)

(খ) (-21) – (-10) □ (-31) + (-11)

এখানে,

(-21) – (-10)

= – 21 + 10

= – (21 -10)

= – 11

আবার,

(-31) + (-11)

= – 31 – 11

= – (31 + 11)

= – 42

যেহেতু,  -11 > -42, সেহেতু ফাঁকা ঘরে > বসিয়ে পাই,

(-21) – (-10) > (-31) + (-11)

(গ) 45 – (-11) □ 57 + (-4)

এখানে,

45 – (-11)

= 45 + 11

= 56

আবার,

57 + (-4)

= 57 – 4

= 53

যেহেতু,  56 > 53, সেহেতু ফাঁকা ঘরে > বসিয়ে পাই,

45 – (-11)  > 57 + (-4)

(ঘ) (-25) – (-42) □ (-42) – (-25)

এখানে,

(-25) – (-42)

= – 25 + 42

= 42 – 25

= 17

আবার,

(-42) – (-25)

= – 42 + 25

= – (42 – 25)

= – 17

যেহেতু,  17 > -17, সেহেতু ফাঁকা ঘরে > বসিয়ে পাই,

(-25) – (-42) > (-42) – (-25)

১০) নিচের ফাঁকাগুলো পূরণ করো।

(ক) (-8) + □ = 0

(খ) 13 + □ = 10

(গ) 12 + (-12) = □

(ঘ) (-4) + □ = -12

(ঙ) □ – 15 = -10

সমাধানঃ

(ক) (-8) + □ = 0

বা, □ = 0 – (-8)

বা, □ = 8

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (-8) + 8 = 0

(খ) 13 + □ = 10

বা, □ = 10 – 13

বা, □ = – (13 – 10)

বা, □ = – 3

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ 13 + (-3) = 10

(গ) 12 + (-12) = □

বা, 12 – 12 = □

বা, 0 = □

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ 12 + (-12) = 0

(ঘ) (-4) + □ = -12

বা, □ = -12 – (-4)

বা, □ = -12 + 4

বা, □ = – (12-4)

বা, □ = – 8

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ (-4) + (-8) = -12

(ঙ) □ – 15 = -10

বা, □ = -10 + 15

বা, □ = 15 – 10

বা, □ = 5

অতএব, নির্ণেয় সমাধানঃ 5 – 15 = -10

১১) মান নির্ণয় করো।

(ক) (-7) – 8 – (-25)

(খ) (-13) + (-8) + (-90)

(গ) (-7) + (-8) + (-90)

(ঘ) 50 – (-40) – (-2)

সমাধানঃ

(ক) (-7) – 8 – (-25)

= – 7 – 8 + 25

= -(7+8) + 25

= – 15 + 25

= 25 – 15

= 10

(খ) (-13) + (-8) + (-90)

= – 13 – 8 – 90

= – (13 + 8 + 90)

= – 111

(গ) (-7) + (-8) + (-90)

= – 7 – 8 – 90

= – (7 + 8 + 90)

= – 105

(ঘ) 50 – (-40) – (-2)

= 50 + 40 + 2

= 92

১২) A = (-9) + 4 + (-6), B = 7 + (-4)

(ক) B এর মান নির্ণয় করো।

(খ) দেখাও যে A < B

(গ) A ও B এর মান সংখ্যারেখায় বসিয়ে (A+B) নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

(ক)

B = 7 + (-4)

বা, B = 7 – 4

বা, B = 3

(খ)

A = (-9) + 4 + (-6)

বা, A = – 9 + 4 -6

বা, A = – (9 + 6) + 4

বা, A = – 15 + 4

বা, A = – (15 – 4)

বা, A = – 11

এবং ক হতে পাই, B = 3

এখানে, -11 < 3 অর্থাৎ, A < B [দেখানো হলো]

(গ)

A + B নির্ণয়ঃ

(i) সংখ্যারেঝায় ০ বিন্দু হতে বামদিকে 11 ঘর অতিক্রম করে -11 বিন্দুতে পৌঁছাই।

(ii) এখন -11 –বিন্দু হতে ডানদিকে 3 ঘর অতিক্রম করি। ফলে আমরা – 8 এ পৌঁছাব।

(iii) অতএব, নির্ণেয় যোগফল = -8

অর্থাৎ, – 11 + 3 = -8 বা, A + B = – 8

ভগ্নাংশের খেলাঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান ভগ্নাংশের খেলার উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

ভগ্নাংশ এমন একটি সংখ্যা যা একটি পূর্ণ বস্তুর অংশকে বোঝায়। ভগ্নাংশ (Fraction) হলো এমন এক ধরনের সংখ্যা যা একটি পূর্ণ বস্তুর (Whole) অংশকে (Part) প্রকাশ করতে আমাদের সাহায্য করে। যেমন একটি পিঠা রাতুল তার বোনের সাথে সমান ভাগ করে খেল। অর্থাৎ পিঠাটির অর্ধেক রাতুল খেল আর বাকি অর্ধেক তার বোন খেল। তাহলে আমরা বুঝতে পারলাম একটি পিঠাকে প্রথমে দুই ভাগ করে রাতুল এক ভাগ খেল ও বোনকে এক ভাগ দিল। রাতুল ২ ভাগের এক ভাগ বা ^১/_২ খেল, একই ভাবে তার বোনও ^১/_২ ভাগ খেল। এই ভগ্নাংশের খেলা অংশে তোমরা বেশ কিছু গাণিতিক খেলা শিখবে যেমনঃ

1. ভগ্নাংশের তুলনার খেলা
2. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ও মিশ্র ভগ্নাংশের খেলা
3. ভগ্নাংশের যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ
4. সংখ্যারেখা ও গ্রিডের সাহায্যে সমাধান
5. বিপরীত ভগ্নাংশের খেলা
6. দশমিকের স্থানীয় মানের খেলা ইত্যাদি।

আমরা এখানে অনুশীলনীর অংশ সমাধান দিচ্ছি বাকী অলোচনা অংশের সমস্যাবলির সমাধান পর্যায়ক্রমে দেয়া হবে।

অনুশীলনী

১। চিত্রের মাঝের ভগ্নাংশগুলো ব্যবহার করো। উপরের দিকে যাওয়ার সময় প্রতি জোড়া গুণ করে খালি স্থান পূরণ করো এবং নিচের দিকে যাওয়ার সময় প্রতি জোড়ার বামের ভগ্নাংশটিকে ডানের ভগ্নাংশ দ্বারা ভাগ করো। এভাবে উপরের ও নিচের সর্বশেষ ভগ্নাংশটি নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

মাঝের ভগ্নাংশগুলো ব্যবহার করতে করে উপরের দিকে যাওয়ার সময় গুণ করতে হবে এবং নিচের দিকে নামার সময় ভাগ করতে হবে।

শর্তমতে উপরের ১ম ধাপের চারটি খালি স্থানের মানগুলো হবে (বাম থেকে ডানে):

^১/_২×^১/_৫ = ^১/_১০ ….. (i)

^৩/_৫×^১/_২ = ^৩/_১০ …… (ii)

^১/_২×^১/_৪ = ^১/_৮ …… (iii)

^৬/_৫×^১/_২ = ^৬/_১০ = ^৩/_৫ ….. (iv)

উপরের ২য় ধাপের দুইটি খালি স্থানের মানগুলো হবে (বাম থেকে ডানে):

^১/_১০×^৩/_১০ = ^৩/_১০০ [(i) ও (ii) থেকে মান নিয়ে] ……. (v)

^১/_৮×^৩/_৫ = ^৩/_৪০ [(iii) ও (iv) থেকে মান নিয়ে] ……. (vi)

উপরের সর্বশেষ ধাপের খালি স্থানের মান হবেঃ

^৩/_১০০×^৩/_৪০ = ^৯/_৪০০০

আবার,

শর্তমতে, নিচের ১ম ধাপের চারটি খালি স্থানের মানগুলো হবে (বাম থেকে ডানে):

^১/_২÷^১/_৫ = ^১/_২×^৫/_১ = ^৫/_২

^৩/_৫÷^১/_২ = ^৩/_৫×^২/_১ = ^৬/_৫

^১/_২÷^১/_৪ = ^১/_২×^৪/_১ = ^৪/_২ = ২

^৬/_৫÷^১/_২ = ^৬/_৫×^২/_১ = ^১২/_৫

শর্তমতে, নিচের ২য় ধাপের দুইটি খালি স্থানের মানগুলো হবে (বাম থেকে ডানে):

^৫/_২÷^৬/_৫ = ^৫/_২×^৫/_৬ = ^২৫/_১২

২÷^১২/_৫ = ^২/_১×^৫/_১২ = ^১০/_১২ = ^৫/_৬

শর্তমতে, নিচের সর্বশেষ ধাপের খালি স্থানের মান হবেঃ

^২৫/_১২÷^৫/_৬ = ^২৫/_১২×^৬/_৫ = ^৫/_২

অতএব, উপরের ও নিচের সর্বশেষ ভগ্নাংশটি হলোঃ ^৯/_৪০০০ ও ^৫/_২

প্রিয় শিক্ষার্থী, তোমরা প্রদত্ত চিত্রে খালি স্থানগুলো নিজে নিজে পূরন করবে, প্রয়োজনে উপরোক্ত সমাধান প্রক্রিয়ার সহযোগিতা নিবে।

২। রিয়া তার বাড়ির সামনের বাগানের তিন দিকে বেড়া দিতে চায়। বাগানের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার, ১৩.৫ মিটার এবং ১২.৩ মিটার। বেড়া দিতে রিয়ার মিটারপ্রতি ৭৫.৭৫ টাকা খরচ হয়।

ক) রিয়াকে কত মিটার বেড়া দিতে হবে?

খ) বেড়া দিতে রিয়ার মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধানঃ

(ক)

বাগানের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৫ মিটার, ১৩.৫ মিটার এবং ১২.৩ মিটার

অতএব,

বাগানের তিন দিকের মোট দৈর্ঘ্য

= (১৫ + ১৩.৫ + ১২.৩) মিটার

= ৪০.৮ মিটার

(খ)

১ মিটারের জন্য খরচ হয় ৭৫.৭৫ টাকা

৪০.৮ মিটারের জন্য খরচ হয় = ৭৫.৭৫×৪০.৮ টাকা

= ৩০৯০.৬ টাকা।

[কিভাবে ভগ্নাংশের যোগ ও ভাগ করতে হবে তা জনতে দেখঃ ভগ্নাংশ অংশ ষষ্ট শ্রেণি।]

৩। নিচের চিত্রগুলোর পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

(ক)

ক চিত্রটি একটি আয়ত যার দৈর্ঘ্য ৫.৫ সেমি ও প্রস্থ ২.৩ সেমি।

অতএব,

আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা

= ২×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ) একক

= ২×(৫.৫+২.৩) সেমি

= ২×৭.৮ সেমি

= ১৫.৬ সেমি

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

=(দৈর্ঘ্য×প্রস্থ) বর্গ একক

= (৫.৫×২.৩) বর্গ সেমি

= ১২.৬৫ বর্গ সেমি।

(খ)

খ চিত্রটি একটি বর্গ যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ৩.৬ সেমি।

অতএব,

বর্গটির পরিসীমা

= ৪×দৈর্ঘ্য একক

= ৪×৩.৬ সেমি

= ২১.৬ সেমি

এবং

বর্গটির ক্ষেত্রফল

= (দৈর্ঘ্য)^২ বর্গ একক

= (৩.৬)^২ বর্গ সেমি

= ১২.৯৬ বর্গ সেমি।

(গ)

গ চিত্রটি একটি রম্বস যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬.৮ সেমি।

অতএব,

রম্বসটির পরিসীমা

= ৪×দৈর্ঘ্য একক

= ৪×৬.৮ সেমি

= ২৭.২ সেমি।

এবং,

রম্বসটির ক্ষেত্রফল বের করার জন্য নিচের চিত্রটি লক্ষ করিঃ

চিত্রটিতে আমরা রম্বসটিকে দুইটি ত্রিভুজে, AC রেখা দ্বারা ভাগ করেছি।

সেক্ষেত্রে,

ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল

= ^১/_২×ভূমি×উচ্চতা

= ^১/_২×৬.৮×৪.২ বর্গ সেমি  [উচ্চতা পাঠ্যচিত্রে দেয়া আছে]

= ১৪.২৮ বর্গ সেমি।

এখন সামন্তরিকের কর্ণ সামন্তরিককে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে, ফলত সামন্তরিকটির ক্ষেত্রফল = ২×১৪.২৮ বর্গ সেমি = ২৮.৫৬ বর্গ সেমি।

উপরের চিত্রটি লক্ষ করো এবং আমাদের শরীর সম্পর্কে ভাবো।

ক) তোমার মস্তিষ্কের ভর কত কেজি?

খ) মাথার হাড়ের সংখ্যা তোমার মোট হাড়ের সংখ্যার ^২৯/_২০৬ অংশ হলে, তোমার মোট কতগুলো হাড় আছে?

গ) সুস্থ থাকার জন্য তোমার শরীরে মোট কত কেজি পানি থাকা প্রয়োজন?

সমাধানঃ

(ক)

দেওয়া আছে, মানুষের মস্তিস্কের ভর ব্যক্তির মোট ভরের ^১/_৪৫ অংশ।

আমার ভর বর্তমানে ৪৫ কেজি [এখানে একজন ষষ্ঠ শ্রেণির মেয়ের ওজন ধরা হয়েছে, তুমি তোমার নিজের ভর ধরে হিসাব করবে]

তাহলে,

আমার মস্তিস্কের ভর

= ৪৫ এর ^১/_৪৫ কেজি

= ৪৫×^১/_৪৫ কেজি

= ১ কেজি।

(খ)

দেওয়া আছে,

আমাদের মাথায় হাড়ের সংখ্যা ২৯টি

এবং মাথায় হাড়ের সংখ্যা মোট হাড়ের সংখ্যার ^২৯/_২০৬ অংশ।

ধরি,

আমার হাড়ের সংখ্যা = x টি

প্রশ্নমতে,

X এর ^২৯/_২০৬ = ২৯

বা, ^২৯x/_২০৬ = ২৯

বা, ২৯x = ২৯×২০৬

বা, x = ^{২৯×২০৬}/_২৯

বা, x =২০৬

অতএব, আমার হাড় আছে ২০৬ টি।

বিদ্রঃ প্রশ্নে ^২৯/_২০৬ অংশ উল্লেখ নেই। প্রশ্ন অসম্পূর্ণ আছে। আরও উল্লেখ্য মানুষের বয়স ভেদে মানুষের দেহে হাড়ের সংখ্যা ২০৬ থেকে ২১৩ পর্যন্ত থাকতে পারে। তাই প্রশ্ন যেহেতু অসম্পূর্ণ তাই অনুল্লেখাংশ আলাদা বা ভিন্ন হতে পারে।

(গ)

দেওয়া আছে,

পানির পরিমান আমাদের শরীরের মোট ভরের ^২/_৩ অংশ।

আমার শরীরের ভর = ৪৫ কেজি।

তাহলে আমার শরীরে মোট পানি থাকতে হবে

= ৪৫ এর ^২/_৩ কেজি

= ৪৫×^২/_৩ কেজি

= ৩০ কেজি

অতএব, সুস্থ থাকার জন্য আমার শরীরে ৩০ কেজি পানি থাকা প্রয়োজন।

৫। রাতুল তার আয়তাকৃতি বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর প্রতিটি সারিতে যথাক্রমে চারটি ও তিনটি করে ফুলের চারা রোপণ করে। পাশাপাশি দুইটি চারার মধ্যকার দূরত্ব ^২/_৩ মিটার। ছবি এঁকে চিন্তা করো।

ক) রাতুলের বাগানটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

খ) রাতুল বাগানে মোট কয়টি ফুলের চারা রোপণ করেছে?

সমাধানঃ

নিচের ছবি এঁকে চিন্তা করি-

(ক)

বাগানে পাশাপাশি দুইটি চারার মধ্যকার দূরত্ব ^২/_৩ মিটার।

অর্থাৎ, একই সারিতে,

১ম চারা থেকে ২য় চারার দূরত্ব = ^২/_৩ মিটার।

বা, ১ম চারা থেকে ৩য় চারার দূরত্ব = (^২/_৩ + ^২/_৩) মিটার = ২×^২/_৩ মিটার = ^৪/_৩ মিটার

বা, ১ম চারা থেকে ৪র্থ চারার দূরত্ব = ৩×^২/_৩ মিটার = ২ মিটার।

এখন,

আয়তাকার বাগানে দৈর্ঘ্য বরাবর ৪টি চারা আছে অর্থাৎ বাগানের দৈর্ঘ্য হবে ১ম চারা থেকে ৪র্থ চারার দূরত্ব = ২ মিটার।

এবং

আয়তাকার বাগানে প্রস্থ বরাবর ৩টি চারা আছে অর্থাৎ বাগানের প্রস্থ হবে ১ম চারা থেকে ৩য় চারার দূরত্ব = ^৪/_৩ মিটার।

তাহলে,

বাগানের ক্ষেত্রফল = ২×^৪/_৩ বর্গ মিটার = ^৮/_৩ বর্গ মিটার।

(খ)

বাগানে দৈর্ঘ্য বরাবর প্রতি সারিতে চারা আছে ৪টি

এবং প্রস্থ বরাবর প্রতি সারিতে চারা আছে ৩টি।

তাহলে, বাগানে চারার সংখ্যা = ৪×৩ টি = ১২টি।

৬। রিয়ার পরিবারের সদস্য সংখ্যা ৮। রিয়া সকলকে সমপরিমাণ চা পরিবেশন করার জন্য ০.৫৬ লিটার চা তৈরি করে। কিন্তু রিয়া চা পান করে না। প্রত্যেকের কাপে কত লিটার চা থাকবে?

সমাধানঃ

রিয়ার পরিবারে সদস্য সংখ্যা = ৮ জন।

যেহেতু রিয়া চা পান করে না সেহেতু চা পান করে মোট (৮-১) = ৭ জন।

রিয়া চা তৈরি করে ০.৫৬ লিটার।

প্রত্যেকে সমপরিমাণ চা পেলে প্রত্যেকের কাপে চায়ের পরিমাণ = ০.৫৬÷৭ লিটার = ০.০৮ লিটার।

৭। রাতুল বাজার থেকে ১০৫ টাকা কেজি দরে ১.৫ কেজি ডাল, ৪৫.৫০ টাকা কেজি দরে ৫ কেজি পিঁয়াজ ক্রয় করে। সে দোকানদারকে কত টাকা দিবে?

সমাধানঃ

১ কেজি ডালের দাম ১০৫ টাকা

∵১.৫ কেজি ডালের দাম = ১০৫×১.৫ টাকা = ১৫৭.৫ টাকা।

আবার,

১ কেজি পিঁয়াজের দাম = ৪৫.৫০ টাকা

∵৫ কেজি পিঁয়াজের দাম = ৪৫.৫০×৫ টাকা = ২২৭.৫ টাকা।

তাহলে, রাতুল দোকানদারকে দিবে (১৫৭.৫+২২৭.৫) টাকা = ৩৮৫ টাকা।

৮। সুমন সাইকেলে চড়ে প্রতি ঘণ্টায় ৮ কিলোমিটার পথ যেতে পারে।

ক) সুমন ৬ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার পথ যেতে পারবে?

খ) ৩০ কিলোমিটার পথ যেতে সুমনের কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধানঃ

(ক)

সুমন ১ ঘন্টায় সাইকেলে চড়ে যেতে পারে ৮ কিমি

∵সুমন ৬ ঘন্টায় সাইকেলে চড়ে যেতে পারবে ৮×৬ কিমি = ৪৮ কিমি।

(খ)

সুমন ১ ঘন্টায় সাইকেলে চড়ে যেতে পারে ৮ কিমি

তাহলে, সুমনের ৩০ কিমি যেতে সময় লাগবে (৩০÷৮) ঘন্টা = ৩.৭৫ ঘন্টা।

এখন,

৩.৭৫ ঘন্টা

= ৩ ঘন্টা + ০.৭৫ ঘন্টা

= ৩ ঘন্টা + (০.৭৫×৬০) মিনিট

= ৩ ঘন্টা + ৪৫ মিনিট

= ৩ ঘন্টা ৪৫ মিনিট

অর্থাৎ, ৩০ কিমি পথ যেতে সুমনের সময় লাগবে ৩ ঘন্টা ৪৫ মিনিট।

৯। অহনা ও তার ছোট ভাইয়ের জন্য সালাদ তৈরি করতে গিয়ে অহনা সালাদের উপকরণ হিসেবে নিচের জিনিসগুলো ব্যবহার করেছে।

ক) অহনার তৈরি করা সালাদের ওজন কত কেজি?

খ) মা-বাবাসহ পরিবারের মোট ৫ জন সদস্যের জন্য সালাদটি তৈরি করতে হলে সালাদের প্রয়োজনীয় উপকরণগুলো ছক আকারে উপস্থাপন করো এবং মোট কত কেজি সালাদ তৈরি করলো তা নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

(ক)

অহনার তৈরি করা সালাদের ওজন

= (^১/_৫ + ^১/_৪ + ^১/_২০ + ^১/_১০০ +^১/_১২৫ + ^১/_৫০০) কেজি

১০০+১২৫+২৫+৫+৪+১

= ————————-  কেজি

৫০০

= ^২৬০/_৫০০ কেজি

= ^২৬/_৫০ কেজি

= ^১৩/_২৫ কেজি

(খ)

মনে করি অহনা তার ও তার ভাইয় অর্থাৎ ২ জনের জন্য সালাদ তৈরি করেছিল x কেজি।

তাহলে,

২ জনের জন্য সালাদ তৈরি হয় x কেজি

∵১ জনের জন্য সালাদ তৈরি হয় ^x/_২ কেজি

∵৫ জনের জন্য সালাদ তৈরি হয় ^x/_২×৫ কেজি  =x×^৫/_২ কেজি।

অর্থাৎ, অহনাকে ২ জনের পরিবর্তে ৫ জনের জন্য সালাদ তৈরি করতে হলে পূর্বের তুলনায় ^৫/_২ গুন হারে প্রয়োজনীয় উপকরন নিতে হবে, যে তালিকা নিন্মে দেয়া হলো।

এখন,

ক হতে পাই,

অহনা ২ জনের জন্য সালাদ তৈরি করেছিল ২৩/২৫ কেজি

তাহলে, শর্তমতে ৫ জনের জন্য সালাদ তৈরি করল

= ^১৩/_২৫×^৫/_২ কেজি

=  ^১৩/_১০ কেজি

= ১.৩ কেজি।

মৌলিক উৎপাদকের গাছঃ বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান

বিস্তারিত ব্যাখ্যাসহ ৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত সমাধান মৌলিক উৎপাদকের গাছের উপরে এক পোস্টেই সকল অধ্যায় এবং Class 6 Math Solution পাবেন।

প্রকৃতিতে কিছু গাছ দেখা যায় যাদের ডালপালা বা শাখা-প্রশাখা নেই। যেমন, সুপারি গাছ, তাল গাছ, নারকেল গাছ, খেঁজুর গাছ ইত্যাদি। আবার কিছু গাছপালা আছে যাদের অনেক ডালপালা বা শাখা-প্রশাখা আছে। যেমন: আম গাছ, জাম গাছ, মরিচ গাছ ইত্যাদি। তোমরা হয়তো ভাবছ গাছের সাথে আবার উৎপাদকের কী সম্পর্ক! ভেবে দেখ তো মরিচ গাছে মরিচ হয়, আম গাছে আম আর গোলাপ ফুলের গাছে গোলাপ ফুল। তাহলে মৌলিক উৎপাদকের গাছে ফুল হিসেবে কী থাকবে?

নিচের ছবিটা দেখলেই বুঝতে পারবে।

ছবি হতে পাইঃ-

৯৬

= ১২×৮

= (৬×২)×(৪×২)

= {(৩×২)×২}×(২×২)×২}

= ৩×২×২×২×২×২

আমরা এই অধ্যায়ের অনুশীলনীর (১ম অংশ) সমাধান করেছি যার বিষয়বস্তুসমূহ নিন্মরুপঃ

1. গুণিতক ও গুণনীয়কের খেলা
2. গসাগু’র খেলা
3. ইউক্লিড পদ্ধতিতে ভাগ প্রক্রিয়ায় গসাগু নির্ণয়

অনুশীলনীঃ (গসাগু ভিত্তিক সমাধান)

১) ছবির মাধ্যমে এবং ভাগ প্রক্রিয়ায় নিচের সংখ্যাগুলোর গসাগু নির্ণয় করো।

(ক) ২৪, ৪৫, ৭২

(খ) ৫৬, ৭৮, ৯০

(গ) ১২০, ৫৬, ৭৮

(ঘ) ৯৯, ৩৩, ১২৩

(ঙ) ৯৫, ৫৭, ২৩

সমাধানঃ

(ক) ২৪, ৪৫, ৭২

ছবির মাধ্যমেঃ-

ছবিতে ৭২ ও ৪৫ এর গসাগু পাই ৯

এবং ২৪ ও ৯ এর গসাগু পাই ৩

তাহলে, ৭২, ৪৫ ও ২৪ এর গসাগু হলোঃ ৩

ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-

৪৫)৭২(১
৪৫
————–
২৭)৪৫(১
২৭
————–
১৮)২৭(১
১৮
———————
৯)১৮(২
১৮
————————-
০

অর্থাৎ, ৪৫ ও ৭২ এর গসাগু ৯

আবার,

৯)২৪(২
১৮
————-
৬)৯(১
৬
—————-
৩)৬(২
৬
———————
০

অর্থাৎ, ৯ ও ২৪ এর গসাগু ৩

তাহলে, ৭২, ৪৫ ও ২৪ এর গসাগু হলোঃ ৩

(খ) ৫৬, ৭৮, ৯০

ছবির মাধ্যমেঃ-

ছবিতে ৯০ ও ৫৬ এর গসাগু পাই ২

এবং ২ ও ৭৮ এর গসাগু পাই ২

তাহলে, ৫৬, ৭৮ ও ৯০ এর গসাগু হলোঃ ২

ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-

৫৬)৯০(১
৫৬
————-
৩৪)৫৬(১
৩৪
———————–
২২)৩৪(১
২২
—————–
১২)২২(১
১২
——————–
১০)১২(১
১০
——————–
২)১০(৫
১০
————————–
০

অর্থাৎ, ৯০ ও ৫৬ এর গসাগু ২

আবার,

২)৭৮(৩৯
৭৮
—————
০

অর্থাৎ, ২ ও ৭৮ এর গসাগু ২

তাহলে, ৫৬, ৭৮, ৯০ এর গসাগু হলোঃ ২

(গ) ১২০, ৫৬, ৭৮

ছবির মাধ্যমেঃ-

ছবিতে, ১২০ ও ৫৬ এর গসাগু ৮

এবং ৭৮ ও ৮ এর গসাগু ২

তাহলে, ১২০, ৫৬ ও ৭৮ এর গসাগু ২

ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-

৫৬)১২০(২
১১২
—————-
৮)৫৬(৭
৫৬
———————
০

অর্থাৎ, ১২০ ও ৫৬ এর গসাগু ৮

আবার,

৮)৭৮(৯
৭২
————–
৬)৮(১
৬
—————–
২)৬(৩
৬
———-
০

অর্থাৎ, ৭৮ ও ৮ এর গসাগু ২

তাহলে, ১২০, ৭৮ ও ৫৬ এর গসাগু হলোঃ ২

(ঘ) ৯৯, ৩৩, ১২৩

ছবির মাধ্যমেঃ-

ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-

৩৩)৯৯(৩
৯৯
———–
০

অর্থাৎ, ৯৯ ও ৩৩ এর গসাগু ৩৩

আবার,

৩৩)১২৩(৩
৯৯
————-
২৪)৩৩(১
২৪
————
৯)২৪(২
১৮
—————–
৬)৯(১
৬
———–
৩)৬(২
৬
—————–
০

অর্থাৎ, ১২৩ ও ৩৩ এর গসাগু ৩

তাহলে, ৯৯, ৩৩ ও ১২৩  এর গসাগু হলোঃ ৩

(ঙ) ৯৫, ৫৭, ২৩

ছবির মাধ্যমেঃ-

ছবিতে, ৯৫ ও ৫৭ এর গসাগু ১৯

এবং ১৯ ও ২৩ এর গসাগু ১

তাহলে, ৯৫, ৫৭ ও ২৩ এর গসাগু হলোঃ ১

ভাগ প্রক্রিয়ায়ঃ-

৫৭)৯৫(১
৫৭
————-
৩৮)৫৭(১
৩৮
—————
১৯)৩৮(২
৩৮
——————
০

অর্থাৎ, ৫৭ ও ৯৫ এর গসাগু ১৯

আবার,

১৯)২৩(১
১৯
————
৪)১৯(৪
১৬
———–
৩)৪(১
৩
———–
১)৩(৩
৩
————–
০

অর্থাৎ, ১৯ ও ২৩ এর গসাগু ১

তাহলে, ৯৫, ৫৭ ও ২৩ এর গসাগু হলোঃ ১

২) চিত্র থেকে ১০০ এবং ৪৪ এর গসাগু নির্ণয় করা যায়। কীভাবে বলো তো?

সমাধানঃ

গণিতবিদ Euclid এর পদ্ধতি অনুসারে গসাগু  চিত্রটি হতে নির্ণয় করা যায়। নিচের চিত্রে সেটা তুলে ধরা হলোঃ

অর্থাৎ, গসাগু হলোঃ ৪

৩) ১৫ মিটার এবং ৪০ মিটার দৈর্ঘ্যের দুইটি দড়ি আছে। এই দুইটি দড়িকে কেটে ছোট ছোট একই দৈর্ঘ্যের টুকরো করতে হবে যেন দড়ির কোনো অংশ নষ্ট না হয়। ছোট ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ কত হতে পারে?

সমাধানঃ

নির্ণেয় ছোট ছোট টুকরার সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য হবে ১৫ ও ৪০ এর গসাগু এর সমান।

১৫)৪০(২
৩০
————
১০)১৫(১
১০
———–
৫)১০(২
১০
————–
০

১৫ ও ৪০ এর গসাগু হলোঃ ৫

অর্থাৎ, নির্ণেয় ছোট ছোট টুকরার সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার।

৪) একজন দোকানদার ১২টি প্যাকেটে মোমবাতি বিক্রি করে এবং ৮টি প্যাকেটে মোমবাতি স্ট্যান্ড বিক্রি করে। প্রতিটি মোমবাতি স্ট্যান্ডের জন্য একটি মোমবাতি থাকতে হলে আয়শাকে সর্বনিন্ম কতগুলো মোমবাতি এবং মোমবাতি স্ট্যান্ড কিনতে হবে?

সমাধানঃ

প্রশ্নমতে,

দোকানদার প্রতি প্যাকেটে মোমবাতি বিক্রি করে ১২টি

এবং দোকানদার প্রতি প্যাকেটে মোমবাতি স্ট্যান্ড বিক্রি করে ৮টি

তাহলে, আয়শাকে সর্বনিন্ম যে কয়টি মোমবাতি ও স্ট্যান্ড কিনতে হবে তা হলো ১২ ও ৮ এর লসাগু এর সমান।

১২ = ২×২×৩

৮ = ২×২×২

লসাগু = ২×২×২×৩ = ২৪

অর্থাৎ, ১২ ও ৮  এর লসাগু হলোঃ ২৪

তাহলে আয়শাকে সর্বনিন্ম ২৪টি মোমবাতি ও ২৪টি স্ট্যান্ড কিনতে হবে।

এখন, ২৪টি মোমবাতি থাকে (২৪÷১২) = ২টি প্যাকেটে

এবং ২৪টি স্ট্যান্ড থাকে  (২৪÷৮) = ৩টি প্যাকেটে

সুতরাং, আয়শাকে সর্বনিন্ম ২টি মোমবাতির প্যকেট ও ৩টি স্ট্যান্ডের প্যাকেট কিনতে হবে।

৫) একজন ফুল বিক্রেতা বিভিন্ন সারিতে ২৪টি ফুলের তোড়া সাজাতে চায়। তিনি প্রতিটি সারিতে একই সংখ্যক তোড়া দিয়ে সেগুলো কত বিভিন্ন উপায়ে সাজাতে পারেন?

সমাধানঃ

ফুলের তোড়ার সংখ্যা = ২৪টি

এখন,

২৪ এর গুণনীয়ক সমূহ হলোঃ ২৪, ১২, ৮, ৬, ৪, ৩, ২, ১

এখন,

২৪ = ২৪×১

অর্থাৎ, ২৪টি করে ফুলের তোড়া ১টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ১২×২

অর্থাৎ, ১২টি করে ফুলের তোড়া ২টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ৮×৩

অর্থাৎ, ৮টি করে ফুলের তোড়া ৩টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ৬×৪

অর্থাৎ, ৬টি করে ফুলের তোড়া ৪টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ৪×৬

অর্থাৎ, ৪টি করে ফুলের তোড়া ৬টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ৩×৮

অর্থাৎ, ৩টি করে ফুলের তোড়া ৮টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ২×১২

অর্থাৎ, ২টি করে ফুলের তোড়া ১২টি সারিতে সাজানো যাবে।

২৪ = ১×২৪

অর্থাৎ, ১টি করে ফুলের তোড়া ২৪টি সারিতে সাজানো যাবে।

তাহলে দেখা যাচ্ছে মোট সাজানোর সংখ্যা হলো ৮টি।

অর্থাৎ, ফুল বিক্রেতা প্রতিটি সারিতে একই সংখ্যক তোড়া দিয়ে ২৪টি তোড়াকে মোট ৮টি উপায়ে সাজাতে পারেন।

৬) ২১০টি কমলা, ২৫২ আপেল এবং ২৯৪টি নাশপাতি সমানভাবে কার্টনে প্যাক করা হয়েছে যাতে কোনো ফল অবশিষ্ট না থাকে। সর্বোচ্চ কতগুলো কার্টন প্রয়োজন হবে সেখানে?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

কমলার সংখ্যা = ২১০টি

আপেলের সংখ্যা = ২৫২টি

নাশপাতির সংখ্যা = ২৯৪টি

প্রদত্ত শর্তমতে সর্বোচ্চ কার্টনের সংখ্যা হবে ২১০, ২৫২ ও ২৯৪ এর গসাগু।

২১০ = ২×৩×৫×৭

২৯৪=২×৩×৭×৭

২৫২=২×২×৩×৩×৭

গসাগু=২×৩×৭=৪২

অতএব, সর্বোচ্চ কার্টন সংখ্যা = ৪২টি।

৭) একটি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৬ মি ৮০ সেমি, ৫ মি ১০ সেমি এবং ৩ মি ৪০ সেমি। তোমাকে কোনো স্কেল দেওয়া হবে না শুধু একটি লাঠি দেওয়া হবে। লাঠির দৈর্ঘ্য তুমি যা চাইবে সেটাই পাবে কিন্তু একবারই বলার সুযোগ পাবে মানে লাঠি একটিই পাবে। এই লাঠি দিয়ে তোমাকে ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটি সঠিকভাবে পরিমাপ করে নিশ্চিত করতে হবে। তুমি সর্বোচ্চ কত দৈর্ঘ্যের লাঠি চাইতে পারবে?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

ঘরের দৈর্ঘ্য = ৬ মি ৮০ সেমি = ৬৮০ সেমি

ঘরের প্রস্থ = ৫ মি ১০ সেমি = ৫১০ সেমি

ঘরের উচ্চতা = ৩ মি ৪০ সেমি = ৩৪০ সেমি

প্রদত্ত শর্তানুসারে, লাঠির সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্য  হবে ৬৮০, ৫১০ ও ৩৪০ এর গসাগু।

৬৮০ = ১৭×৫×২×২×২

৫১০ = ১৭×৫×৩×২

৩৪০ = ১৭×৫×২×২

গসাগু = ১৭×৫×২ = ১৭০

অর্থাৎ, আমি সর্বোচ্চ ১৭০ সেমি বা ১ মি ৭০ সেমি দৈর্ঘ্যের লাঠি চাইতে পারব।

৮) দুটি সংখ্যার গসাগু হলো ৬, একটি সংখ্যা ৪২ হলে অন্য সংখ্যাটি কত হতে পারে?

সমাধানঃ

একটি সংখ্যা = ৪২ = ২×৩×৭ = ৬×৭

এখন, সংখ্যা দুইটির গসাগু ৬,

তাহলে অন্য সংখ্যাটি হবে ৬×ক আকারের যেখানে ক = ১,২,৩,৪…..

তাহলে, অন্য সংখ্যাটি হতে পারে

৬×১ = ৬

বা, ৬×২ = ১২

বা, ৬×৩ = ১৮

বা, ৬×৪ = ২৪ …………………..

৯) বালতি ও পানির সাহায্যে একটিভিটিঃ

ক) ৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে কীভাবে ৪ লিটার পানি পরিমাপ করা যায়? এক্ষেত্রে বালতির গায়ে কোনোরকম পরিমাপ নির্দেশক দাক কাটা থাকবে না। আবার অন্য কোনো পরিমাপ যন্ত্র যেমন স্কেল বা দাঁড়িপাল্লা ইত্যাদি ব্যবহার করা যাবে না।

সমাধানঃ

৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে ৪ লিটার পানি পরিমাপের ধাপসমূহঃ

১. ৫ লিটারের বালতি পানি দ্বারা পূর্ণ করি।

২. ৫ লিটারের বালতি হতে ৩ লিটার পানি ৩ লিটারের বালতিতে ঢালি। ফলে ৫ লিটারের বালতিতে ২ লিটার পানি অবশিষ্ট থাকল।

৩. ৩ লিটারের পাত্রের পানি অপসারন করি বা পাত্র খালি করি।

৪. এবার ৫ লিটার বালতির ২ লিটার পানি ৩ লিটার পাত্রে ঢেলে নি। তাহলে ৫ লিটারের পাত্র খালি ও ৩ লিটারের বালটিতে ২ লিটার পানি থাকল।

৫. আবার ৫ লিটারের বালতি পূর্ণ করি।

৬. ৫ লিটারের বালতি হতে পানি ৩ লিটারের বালতিতে ঢেলে পূর্ণ করি। আগে যেহেতু ৩ লিটারের বালতিতে ২ লিটার পানি ছিল সেহেতু আর ১ লিটারেই ৩ লিটারের বালতিটি সম্পূর্ণ হয়ে যাবে। অর্থাৎ, ৫ লিটারের বালতি হতে ১ লিটার পানি ৩ লিটারের বালতিতে স্থানান্তরিত হবে। ফলে ৫ লিটারের বালতিতে ৪ লিটার পানি অবশিষ্ট থাকবে।

এভাবে, ৩ লিটার ও ৫ লিটার পানির বালতি দিয়ে ৪ লিটার পানি পরিমাপ করা যাবে।

খ) ৪ লিটার ও ৬ লিটার পানির বালতি দিয়ে নিচের কোন কোন পরিমাণ পানি পরিমাপ করা যায়? (এক্ষেত্রে অন্য পাত্রে রাখার সুযোগ থাকবে ৭,৮,৯,১০ লিটারের জন্য)

সমাধানঃ

১) মৌলিক উৎপাদকের গাছের সাহায্যে ‘লসাগু’র খেলা  অংশে আলোচনার সব কয়টি পদ্ধতিতে লসাগু নির্ণয় করো।

(ক) ১৪, ১৫, ১২

(খ) ৬৬, ৭৮, ১০০

(গ) ১২০, ৫৬, ৬০

(ঘ) ৫৫, ১৫, ১৪৩

(ঙ) ২৫, ৫৭, ৯৫

সমাধানঃ

(ক) ১৪, ১৫, ১২

মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, লসাগু = ২×৭×৩×৫×২ = ৪২০

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

২|১৪,১৫,১২
৭|৭,১৫,৬
৩|১,১৫,৬
   ১,৫,২

অতএব, লসাগু = ২×৭×৩×৫×২ = ৪২০

সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

১৪ এর গুণিতকগুলো = ১৪, ২৮, ৪২, ৫৬, ৭০, ৮৪, ৯৮, ১১২, ১২৬, ১৪০, ১৫৪, ১৬৮, ১৮২, ২১০, ২২৪, ২৩৮, ২৫২, ২৬৬, ২৮০, ২৯৪, ৩০৮, ৩২২, ৩৩৬, ৩৫০, ৩৬৪, ৩৭৮, ৩৯২, ৪০৬, ৪২০….ইত্যাদি

১৫ এর গুণিতকগুলো = ১৫, ৩০, ৪৫, ৬০, ৭৫, ৯০, ১০৫, ১২০, ১৩৫, ১৫০, ১৬৫, ১৮০, ১৯৫, ২১০, ২২৫, ২৪০, ২৫৫, ২৭০, ২৮৫, ৩০০, ৩১৫, ৩৩০, ৩৪৫, ৩৬০, ৩৭৫, ৩৯৫, ৪০৫, ৪২০…….ইত্যাদি

১২ এর গুণিতকগুলো = ১২, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪, ৯৬, ১০৮, ১২০, ১৩২, ১৪৪, ১৫৬, ১৬৮, ১৮০, ১৯২, ২০৪, ২১৮, ২২৮, ২৪০, ২৫২, ২৬৪, ২৭৬, ২৮৮, ৩০০, ৩১২, ৩২৪, ৩৩৬, ৩৪৮, ৩৬০, ৩৭২, ৩৮৪, ৩৯৬, ৪০৮, ৪২০…ইত্যাদি

এখন,

১৪, ১৫ ও ১২ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৪২০

অতএব, লসাগু = ৪২০

(খ) ৬৬, ৭৮, ১০০

মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, লসাগু = ৩×২×১১×১৩×৫×৫×২ = ৪২৯০০

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৩|৬৬,৭৮,১০০
২|২২,২৬,১০০
১১|১১,১৩,৫০
৫|১,১৩,৫০
২|১,১৩,১০
     ১,১৩,৫

অতএব, লসাগু = ৩×২×১১×৫×১৩×৫×৫ = ৪২৯০০

সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৬৬ এর গুণিতকগুলো =৬৬, ১৩২,১৯৮, ২৬৪, ৩৩০, ৩৯৬, ৪৬২, ৫২৮, ৫৯৪, ৬৬০, ………. ৪২৯০০, ৪২৯৬৬….. ইত্যাদি

৭৮ এর গুণিতকগুলো = ৭৮, ১৫৬,  ২৩৪ …….. ৪২৮২২, ৪২৯০০, ৪২৯৭৮……ইত্যাদি

১০০ এর গুণিতকগুলো = ১০০, ২০০, ৩০০,……. ৪২৮০০, ৪২৯০০, ৪৩০০০ ….ইত্যাদি

৬৬, ৭৮ ও ১০০ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৪২৯০০

অতএব, লসাগু = ৪২৯০০

(গ) ১২০, ৫৬, ৬০

মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, লসাগু = ৫×২×৩×২×২×৭ = ৮৪০

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৫|১২০,৫৬,৬০
২|২৪,৫৬,১২
৩|১২,২৮,৬
২|৪,২৮,২
২|২,১৪,১
   ১,৭,১

অতএব, লসাগু = ৫×২×৩×২×২×৭ = ৮৪০

সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

১২০ এর গুণিতকগুলো = ১২০, ২৪০,৩৬০, ৪৮০, ৬০০, ৭২০, ৮৪০, ৯৬০ …. ইত্যাদি

৫৬ এর গুণিতকগুলো = ৫৬, ১১২, ১৬৮, ২২৪, ২৮০, ৩৩৬, ৩৯২, ৪৪৮, ৫০৪, ৫৬০, ৬১৬, ৬৭২, ৭২৮, ৭৮৪, ৮৪০, ৮৯৬ …..ইত্যাদি

৬০ এর গুণিতকগুলো =  ৬০, ১২০, ১৮০, ২৪০, ৩০০, ৩৬০, ৪২০, ৪৮০, ৫৪০, ৬০০, ৬৬০, ৭২০, ৭৮০, ৮৪০, ৯০০….ইত্যাদি

১২০, ৫৬ ও ৬০ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ৮৪০

অতএব, লসাগু = ৮৪০

(ঘ) ৫৫, ১৫, ১৪৩

মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, লসাগু = ৫×১১×৩×১৩ = ২১৪৫

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৫|৫৫,১৫,১৪৩
১১|১১,৩,১৪৩
     ১,৩,১৩

অতএব, লসাগু = ৫×১১×৩×১৩ = ২১৪৫

সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৫৫ এর গুণিতকগুলো =৫৫, ১১০ ……. ২০৯০, ২১৪৫, ২২০০ ……ইত্যাদি

১৫ এর গুণিতকগুলো = ১৫, ৩০, ৪৫, ….. ২১৩০, ২১৪৫, ২১৬০…..ইত্যাদি

১৪৩ এর গুণিতকগুলো = ১৪৩, ২৮৬, ……২০০২, ২১৪৫, ২২৮৮……

ইত্যাদি

৫৫, ১৫ ও ১৪৩ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ২১৪৫

অতএব, লসাগু = ২১৪৫

(ঙ) ২৫, ৫৭, ৯৫

মৌলিক উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, লসাগু = ৫×৫×৩×১৯ = ১৪২৫

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৫|২৫,৫৭,৯৫
৫|৫,৫৭,১৯
৩|১,৫৭,১৯
১৯|১,১৯,১৯
      ১,১,১

অতএব, লসাগু = ৫×৫×৩×১৯ = ১৪২৫

সংখ্যার গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

২৫ এর গুণিতকগুলো = ২৫, ৫০, ৭৫, ……..১৪০০, ১৪২৫, ১৪৫০. ……ইত্যাদি

৫৭ এর গুণিতকগুলো = ৫৭, ১১৪, ১৭১,……১৩৬৮, ১৪২৫, ১৪৮২,……..ইত্যাদি

৯৫ এর গুণিতকগুলো = ৯৫, ১৯০, ২৮৫, …………১৩৩০, ১৪২৫, ১৫২০…..ইত্যাদি

২৫, ৫৭ ও ৯৫ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ১৪২৫

অতএব, লসাগু = ১৪২৫

২) গসাগু ও লসাগু’র মধ্যে সম্পর্ক:

যে কোনো দুইটি সংখ্যা ১০ এবং ৩০ নিয়ে মৌলিক গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করা হলো।

১০ = ২×৫, ৩০ = ২×৩×৫

১০ এবং ৩০ এর গসাগু = ২ × ৫ = ১০

এবং লসাগু = ২ × ৩ × ৫ = ৩০

আবার, 10 এবং 30 সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ১০ × ৩০ = (২×৫) × (২×৩×৫)

= গসাগু × লসাগু

∴ দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গসাগু ও লসাগু এর গুণফলের সমান।

দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের গসাগু × সংখ্যাদ্বয়ের লসাগু

এবার, ‘দুইটি সংখ্যার গুণফল সংখ্যা দুইটির গসাগু ও লসাগু’র গুণফলের সমান।‘

তুমি কি উপরের গাণিতিক উক্তিটি ‘গসাগু’র খেলা’ এবং লসাগু’র খেলা’ অংশে আলোচনা করা পদ্ধতির মাধ্যমে যেকোনো দুইটি সংখ্যার জন্য সত্য প্রমান করতে পারবে?

সমাধানঃ

হ্যা, আমি উপরোক্ত গাণিতিক বাক্যের সত্যতা প্রমান করতে পারব।

এর জন্য দুইটি সংখ্যা ধরি, ৪ ও ৬

উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর গসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, ৪ ও ৬ এর গসাগুঃ ২

গুণনীয়ক এর মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

৪ এর গুণনীয়কগুলোঃ ১,২,৪

৬ এর গুণনীয়কগুলোঃ ১,২,৩,৬

অতএব, ৪ ও ৬ এর গসাগু = ২

Euclid প্রক্রিয়ায় গসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, ৪ ও ৬  এর গসাগু = ২

এবং

উৎপাদকের গাছের মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর লসাগু নির্ণয়ঃ

অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগুঃ ১২

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ৪ ও ৬ এর লসাগু নির্ণয়ঃ

২|৪,৬
    ২,৩

অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগু = ২×২×৩ = ১২

৪ ও ৬ এর গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

৪ এর গুণিতকগুলোঃ ৪, ৮, ১২, ১৬….ইত্যাদি

৬ এর গুণিতকগুলোঃ ৬, ১২, ১৮, ….ইত্যাদি

৪ ও ৬ এর গুণিতকের তালিকা হতে সবচেয়ে ছোট সাধারন গুণীতক পাই ১২

অতএব, ৪ ও ৬ এর লসাগু = ১২

অর্থাৎ, আমরা প্রত্যেক ক্ষেত্রে ৪ ও ৬ এর গসাগু পাই ২ এবং লসাগু পাই ১২

৪ ও ৬ এর গসাগু ও লসাগু এর গুনফল = ২×১২ = ২৪